Numeri rationales \(\mathbb{Q}\) primo aspectu totum continuum apparent: inter duas fractiones quaslibet, semper alia est. Sed haec impressio fallax est: sunt numerorum rationalium series quae quidem terminatae sunt, sed quorum supremum vel infimum simpliciter in \(\mathbb{Q}\) non existit. Ratio in existentia numerorum irrationalium, ut \(\sqrt{2}\) , iacet, qui, quodammodo, foramina invisibilia in linea numerorum rationalium creant.
Ut demonstremus \(\mathbb{Q}\) \(\mathbb{Q}\) : unam quae supra terminatur sed supremum in \(\mathbb{Q}\) non habet, et alteram quae infra terminatur sed infimum in \(\mathbb{Q}\) non habet.
Considera multitudinem \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Multitudo \(X\) non est vacua, quia \(1 \in X\) . Si \(x \geq 2\) , tunc \(x^2 \geq 4 > 2\) , quod contradicit \(x^2 < 2\) . Ergo, \(x < 2\) valet pro omni \(x \in X\) . Ita \(X \subset [0, 2]\) , et \(2\) est unus ex limitibus superioribus \(X\) . Ergo, \(X\) est supra terminatum.
Sit \(x \in X\) . Demonstramus existere \(n \in \mathbb{N}\) ` talem ut \(x + \frac{1}{n} \in X\) .`
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Ergo \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . \(2 - x^2 > 0\) et \(2x + 1 > 0\) , axioma Archimedis existentiam \(n \in \mathbb{N}\) praestat. Ergo, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , et sic \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Nunc consideremus copiam \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Perspicuum est, \(Y \neq \varnothing\) . Praeterea, \(Y\) infra terminatum est et supra non terminatum, id est \(Y \subset (0, +\infty)\) . Sit \(y \in Y\) . Demonstramus existere \(m \in \mathbb{N}\) talem ut \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Observatur quod
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Ergo \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Quoniam \(y^2 - 2 > 0\) et \(2y > 0\) , axioma Archimedis iterum existentiam \(m \in \mathbb{N}\) praestat. Ergo, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , et sic \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Ponamus \(w = \sup X\) . Non potest esse verum ut \(w^2 < 2\) , quia tum \(w \in X\) , et esset \(n \in \mathbb{N}\) cum \(w + \frac{1}{n} \in X\) et \(w < w + \frac{1}{n}\) , quod contradicit facto quod \(w\) est finis superior \(X\) . Nec verum esse potest ut \(w^2 > 2\) , quia tum \(w \in Y\) , et esset \(m \in \mathbb{N}\) cum \(w - \frac{1}{m} \in Y\) et \(w - \frac{1}{m} < w\) , quod contradicit facto quod \(w\) est finis superior minimus \(X\) .
Ponamus nunc \(v = \inf Y\) . Non potest esse verum \(v^2 > 2\) , quia tum \(v \in Y\) , et \(v\) non essent finis inferior \(Y\) . Similiter, non potest esse verum \(v^2 < 2\) , quia tum \(v \in X\) , et ergo \(v\) non esset maximus finis inferior \(Y\) .
Solae igitur possibilitates restantes sunt \(w^2 = 2\) et \(v^2 = 2\) . Attamen nullus numerus rationalis existit cuius quadratum aequale sit \(2\) . Ergo \(w = \sup X\) in \(\mathbb{Q}\) exstare non potest. Eadem de causa, \(v = \inf Y\) in \(\mathbb{Q}\) exstare non potest.
Ergo, \(\mathbb{Q}\) non est campus omnino ordinatus. \(\square\)