Οι ρητοί αριθμοί \(\mathbb{Q}\) φαίνονται με την πρώτη ματιά να είναι ένα συνεχές σύνολο: μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κλασμάτων, υπάρχει πάντα ένα άλλο. Αλλά αυτή η εντύπωση είναι παραπλανητική: υπάρχουν σύνολα ρητών αριθμών που είναι πράγματι φραγμένα, αλλά των οποίων το supremum ή infimum απλά δεν υπάρχει στο \(\mathbb{Q}\) . Ο λόγος έγκειται στην ύπαρξη άρρητων αριθμών όπως \(\sqrt{2}\) , οι οποίοι, κατά μία έννοια, δημιουργούν αόρατες οπές στην ρητή αριθμογραμμή.
Για να δείξουμε ότι \(\mathbb{Q}\) δεν είναι πλήρες, θα καθορίσουμε δύο μη κενά υποσύνολα του \(\mathbb{Q}\) : ένα που είναι φραγμένο από πάνω αλλά δεν έχει υπερσύνολο στο \(\mathbb{Q}\) , και ένα άλλο που είναι φραγμένο από κάτω αλλά δεν έχει υπερσύνολο στο \(\mathbb{Q}\) .
Θεωρήστε το σύνολο \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Το σύνολο \(X\) δεν είναι κενό, αφού \(1 \in X\) . Αν \(x \geq 2\) , τότε \(x^2 \geq 4 > 2\) , το οποίο έρχεται σε αντίθεση με \(x^2 < 2\) . Επομένως, \(x < 2\) ισχύει για κάθε \(x \in X\) . Έτσι \(X \subset [0, 2]\) και \(2\) είναι ένα από τα άνω όρια του \(X\) . Επομένως, \(X\) είναι φραγμένο από πάνω.
Έστω \(x \in X\) . Δείχνουμε ότι υπάρχει ένα \(n \in \mathbb{N}\) τέτοιο ώστε \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Διαπιστώνεται ότι
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Έτσι \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Δεδομένου ότι \(2 - x^2 > 0\) και \(2x + 1 > 0\) , το αξίωμα του Αρχιμήδη εγγυάται την ύπαρξη ενός \(n \in \mathbb{N}\) . Επομένως, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , και άρα \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Τώρα θεωρήστε το σύνολο \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Προφανώς, \(Y \neq \varnothing\) . Επιπλέον, \(Y\) είναι φραγμένο από κάτω και απεριόριστο από πάνω, δηλαδή \(Y \subset (0, +\infty)\) . Έστω \(y \in Y\) . Δείχνουμε ότι υπάρχει ένα \(m \in \mathbb{N}\) τέτοιο ώστε \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Παρατηρείται ότι
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Έτσι \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Αφού \(y^2 - 2 > 0\) και \(2y > 0\) , το αξίωμα του Αρχιμήδη εγγυάται και πάλι την ύπαρξη ενός \(m \in \mathbb{N}\) . Επομένως, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , και άρα \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Ας υποθέσουμε \(w = \sup X\) . Δεν μπορεί να ισχύει ότι \(w^2 < 2\) , επειδή τότε \(w \in X\) , και θα υπήρχε ένα \(n \in \mathbb{N}\) με \(w + \frac{1}{n} \in X\) και \(w < w + \frac{1}{n}\) , το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι \(w\) είναι ένα άνω όριο του \(X\) . Επίσης, δεν μπορεί να ισχύει ότι \(w^2 > 2\) , επειδή τότε \(w \in Y\) , και θα υπήρχε ένα \(m \in \mathbb{N}\) με \(w - \frac{1}{m} \in Y\) και \(w - \frac{1}{m} < w\) , το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι \(w\) είναι το ελάχιστο άνω όριο του \(X\) .
Ας υποθέσουμε τώρα ότι \(v = \inf Y\) . Δεν μπορεί να ισχύει ότι \(v^2 > 2\) , επειδή τότε \(v \in Y\) και \(v\) δεν θα ήταν ένα κάτω όριο του \(Y\) . Ομοίως, δεν μπορεί να ισχύει ότι \(v^2 < 2\) , επειδή τότε \(v \in X\) και άρα \(v\) δεν θα ήταν το μέγιστο κάτω όριο του \(Y\) .
Συνεπώς, οι μόνες πιθανότητες που απομένουν είναι \(w^2 = 2\) και \(v^2 = 2\) . Ωστόσο, δεν υπάρχει ρητός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με \(2\) . Επομένως \(w = \sup X\) δεν μπορεί να υπάρχει στο \(\mathbb{Q}\) . Για τον ίδιο λόγο, \(v = \inf Y\) δεν μπορεί να υπάρχει στο \(\mathbb{Q}\) .
Επομένως, \(\mathbb{Q}\) δεν είναι ένα πλήρως διατεταγμένο πεδίο. \(\square\)