முதல் பார்வையில், விகிதமுறு எண்கள் \(\mathbb{Q}\) ஒரு தொடர்ச்சியான முழுமை போல் தோன்றும்: எந்த இரண்டு பின்னங்களுக்கும் இடையில், எப்போதும் இன்னொன்று இருக்கும். ஆனால் இந்த எண்ணம் ஏமாற்றும்: உண்மையில் எல்லைக்குட்பட்ட பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்புகள் உள்ளன, ஆனால் அவற்றின் உச்ச அல்லது வரம்பற்றவை \(\mathbb{Q}\) இல் இல்லை. காரணம் \(\sqrt{2}\) போன்ற விகிதமுறு எண்களின் இருப்பில் உள்ளது, இது ஒரு வகையில், விகிதமுறு எண் வரிசையில் கண்ணுக்குத் தெரியாத துளைகளை உருவாக்குகிறது.
\(\mathbb{Q}\) முழுமையடையவில்லை என்பதைக் காட்ட, \(\mathbb{Q}\) இன் இரண்டு வெற்று அல்லாத துணைக்குழுக்களைக் குறிப்பிடுவோம்: ஒன்று மேலே வரம்பிற்குட்பட்டது ஆனால் \(\mathbb{Q}\) இல் உச்சம் இல்லை, மற்றொன்று கீழே வரம்பிற்குட்பட்டது ஆனால் \(\mathbb{Q}\) இல் அகம் இல்லை.
\(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) என்ற தொகுப்பைக் கவனியுங்கள். \(1 \in X\) என்பதால் \(X\) என்ற தொகுப்பு காலியாக இல்லை. \(x \geq 2\) எனில், \(x^2 \geq 4 > 2\) , இது \(x^2 < 2\) உடன் முரண்படுகிறது. எனவே, \(x < 2\) ஒவ்வொரு \(x \in X\) க்கும் பொருந்தும். எனவே \(X \subset [0, 2]\) , மற்றும் \(2\) என்பது \(X\) இன் மேல் எல்லைகளில் ஒன்றாகும். எனவே, \(X\) மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(x \in X\) என்று வைத்துக்கொள்வோம். \(x + \frac{1}{n} \in X\) என்று ஒரு \(n \in \mathbb{N}\) இருப்பதைக் காட்டுகிறோம். அது கண்டறியப்பட்டது
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
எனவே \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . \(2 - x^2 > 0\) மற்றும் \(2x + 1 > 0\) என்பதால், ஆர்க்கிமிடிஸின் கோட்பாடு \(n \in \mathbb{N}\) இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. எனவே, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , இதனால் \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
இப்போது \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) என்ற தொகுப்பைக் கவனியுங்கள். வெளிப்படையாக, \(Y \neq \varnothing\) . மேலும், \(Y\) கீழே வரம்பிடப்பட்டு மேலே வரம்பிடப்படவில்லை, அதாவது \(Y \subset (0, +\infty)\) . \(y \in Y\) என்று வைத்துக்கொள்வோம். \(y - \frac{1}{m} \in Y\) என்று ஒரு \(m \in \mathbb{N}\) இருப்பதைக் காட்டுகிறோம். அது கவனிக்கப்படுகிறது
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
எனவே \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . \(y^2 - 2 > 0\) மற்றும் \(2y > 0\) என்பதால், ஆர்க்கிமிடிஸின் கோட்பாடு மீண்டும் ஒரு \(m \in \mathbb{N}\) இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. எனவே, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , இதனால் \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
\(w = \sup X\) என்று வைத்துக்கொள்வோம். அது \(w^2 < 2\) ஆக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் \(w \in X\) , மற்றும் \(n \in \mathbb{N}\) \(w + \frac{1}{n} \in X\) \) உடன் \(w < w + \frac{1}{n}\) , இது \(w\) என்பது \(X\) இன் மேல் எல்லை என்பதற்கு முரணானது. \(w^2 > 2\) என்பதும் உண்மையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் \(w \in Y\) , மற்றும் \(m \in \mathbb{N}\) மற்றும் \(w - \frac{1}{m} \in Y\) \(w - \frac{1}{m} < w\) இருக்கும், இது \(w\) என்பது \(X\) இன் குறைந்தபட்ச மேல் எல்லை என்ற உண்மைக்கு முரணானது.
இப்போது \(v = \inf Y\) என்று வைத்துக்கொள்வோம். \(v^2 > 2\) என்பது உண்மையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அப்போது \(v \in Y\) , மற்றும் \(v\) ஆகியவை \(Y\) இன் கீழ் வரம்பாக இருக்காது. அதேபோல், \(v^2 < 2\) என்பது உண்மையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அப்போது \(v \in X\) , எனவே \(v\) என்பது \(Y\) இன் மிகப்பெரிய கீழ் வரம்பாக இருக்காது.
எனவே மீதமுள்ள சாத்தியக்கூறுகள் \(w^2 = 2\) மற்றும் \(v^2 = 2\) மட்டுமே. இருப்பினும், \(2\) க்கு சமமான வர்க்கத்தைக் கொண்ட எந்த விகிதமுறு எண் இல்லை. எனவே \(w = \sup X\) \(\mathbb{Q}\) இல் இருக்க முடியாது. அதே காரணத்திற்காக, \(v = \inf Y\) \(\mathbb{Q}\) இல் இருக்க முடியாது.
எனவே, \(\mathbb{Q}\) என்பது முழுமையாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலம் அல்ல. \(\square\)