Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) на первый взгляд кажутся непрерывным целым: между любыми двумя дробями всегда есть другая. Но это впечатление обманчиво: существуют множества рациональных чисел, которые действительно ограничены, но супремум или инфимум которых просто не существует в \(\mathbb{Q}\) . Причина кроется в существовании иррациональных чисел, таких как \(\sqrt{2}\) , которые, в некотором смысле, создают невидимые дыры на числовой оси рациональных чисел.
Чтобы показать, что \(\mathbb{Q}\) не является полным, мы определим два непустых подмножества \(\mathbb{Q}\) : одно, ограниченное сверху, но не имеющее супремума в \(\mathbb{Q}\) , и другое, ограниченное снизу, но не имеющее инфимума в \(\mathbb{Q}\) .
Рассмотрим множество \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Множество \(X\) не пусто, так как \(1 \in X\) . Если \(x \geq 2\) , то \(x^2 \geq 4 > 2\) , что противоречит \(x^2 < 2\) . Следовательно, \(x < 2\) выполняется для каждого \(x \in X\) . Таким образом \(X \subset [0, 2]\) , и \(2\) является одной из верхних границ \(X\) . Следовательно, \(X\) ограничено сверху.
Пусть \(x \in X\) . Мы покажем, что существует \(n \in \mathbb{N}\) такое, что \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Установлено, что
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Таким образом \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Поскольку \(2 - x^2 > 0\) и \(2x + 1 > 0\) , аксиома Архимеда гарантирует существование \(n \in \mathbb{N}\) . Следовательно, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , и, таким образом, \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Теперь рассмотрим множество \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Очевидно, что \(Y \neq \varnothing\) . Кроме того, \(Y\) ограничено снизу и неограничено сверху, то есть \(Y \subset (0, +\infty)\) . Пусть \(y \in Y\) . Мы покажем, что существует \(m \in \mathbb{N}\) такое, что \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Замечено, что
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Таким образом \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Поскольку \(y^2 - 2 > 0\) и \(2y > 0\) , аксиома Архимеда снова гарантирует существование \(m \in \mathbb{N}\) . Следовательно, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , и, таким образом \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Предположим, что \(w = \sup X\) . Не может быть, что \(w^2 < 2\) , потому что тогда \(w \in X\) , и существовало бы \(n \in \mathbb{N}\) где \(w + \frac{1}{n} \in X\) и \(w < w + \frac{1}{n}\) , что противоречит тому факту, что \(w\) является верхней границей \(X\) . Также не может быть верно, что \(w^2 > 2\) , потому что тогда \(w \in Y\) , и существовало бы \(m \in \mathbb{N}\) где \(w - \frac{1}{m} \in Y\) и \(w - \frac{1}{m} < w\) , что противоречит тому факту, что \(w\) является наименьшей верхней границей \(X\) .
Предположим теперь, что \(v = \inf Y\) . Не может быть верным утверждение \(v^2 > 2\) , потому что тогда \(v \in Y\) , и \(v\) не будет нижней границей \(Y\) . Аналогично, не может быть верным утверждение \(v^2 < 2\) , потому что тогда \(v \in X\) , и, следовательно, \(v\) не будет наибольшей нижней границей \(Y\) .
Таким образом, единственными оставшимися возможностями являются \(w^2 = 2\) и \(v^2 = 2\) . Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен \(2\) . Следовательно \(w = \sup X\) не может существовать в \(\mathbb{Q}\) . По той же причине \(v = \inf Y\) не может существовать в \(\mathbb{Q}\) .
Следовательно, \(\mathbb{Q}\) не является полностью упорядоченным полем. \(\square\)