有理数\(\mathbb{Q}\)は一見すると連続した全体のように見えます。つまり、任意の 2 つの分数の間には必ず別の分数が存在します。しかし、この印象は誤解を招くものです。実際には有理数の集合は有界ですが、その上限や下限は\(\mathbb{Q}\)には存在しません。その理由は、 \(\sqrt{2}\)のような無理数の存在にあります。これらの無理数は、ある意味で、有理数直線に目に見えない穴を作り出しているのです。
\(\mathbb{Q}\)が完全でないことを示すために、 \(\mathbb{Q}\)の 2 つの空でない部分集合を指定します。1 つは上に有界ですが\(\mathbb{Q}\)に上限がなく、もう 1 つは下に有界ですが\(\mathbb{Q}\)に下限がありません。
集合\(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\)を考えます。集合\(X\)は空ではありません。なぜなら\(1 \in X\)だからです。もし\(x \geq 2\)ならば、 \(x^2 \geq 4 > 2\)となり、これは\(x^2 < 2\)に矛盾します。したがって、すべての\(x \in X\)に対して\(x < 2\)が成り立ちます。したがって\(X \subset [0, 2]\)であり、 \(2\)は\(X\)の上限の 1 つです。したがって、 \(X\)は上に有界です。
\(x \in X\)とする。 \(n \in \mathbb{N}\)が存在して\(x + \frac{1}{n} \in X\)となることを示す。
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
したがって\(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) 。 \(2 - x^2 > 0\)および\(2x + 1 > 0\)であることから、アルキメデスの公理により\(n \in \mathbb{N}\)の存在が保証される。したがって、 \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\)であり、したがって\(x + \frac{1}{n} \in X\)ある。
ここで、集合\(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\)を考えます。明らかに、 \(Y \neq \varnothing\)です。さらに、 \(Y\)は下に有界で上に有界ではありません。つまり\(Y \subset (0, +\infty)\)です。 \(y \in Y\)とします。 \(m \in \mathbb{N}\)が存在して、 \(y - \frac{1}{m} \in Y\)となることを示します。次のことが観察されます。
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
したがって\(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) 。 \(y^2 - 2 > 0\)および\(2y > 0\)であることから、アルキメデスの公理により\(m \in \mathbb{N}\)の存在が再び保証されます。したがって、 \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\)となり、したがって\(y - \frac{1}{m} \in Y\)となります。
\(w = \sup X\)と仮定します。 \(w^2 < 2\)はあり得ません。なぜなら、その場合\(w \in X\)となり、 \(n \in \mathbb{N}\) \(w + \frac{1}{n} \in X\) \) となる\(w < w + \frac{1}{n}\)が存在し、 \(w\)が\(X\)の上限であるという事実に矛盾するからです。また、 \(w^2 > 2\)であることも真ではありません。なぜなら、その場合\(w \in Y\)となり、 \(w - \frac{1}{m} \in Y\) \(m \in \mathbb{N}\)かつ \(w - \ \(w - \frac{1}{m} < w\)ことになり、これは\(w\)が\(X\)の最小上界であるという事実に矛盾するからです。
ここで\(v = \inf Y\)と仮定します。 \(v^2 > 2\)成り立ちません。なぜなら、その場合\(v \in Y\)となり、 \(v\)は\(Y\)の下限ではなくなるからです。同様に、 \(v^2 < 2\)も成り立ちません。なぜなら、その場合\(v \in X\)となり、 \(v\) \(Y\)の最大の下限ではなくなるからです。
したがって、残された可能性は\(w^2 = 2\)と\(v^2 = 2\)のみです。しかし、2 乗が\(2\)に等しい有理数は存在しません。したがって\(w = \sup X\)は\(\mathbb{Q}\)には存在できません。同様の理由で、 \(v = \inf Y\) \(\mathbb{Q}\)には存在できません。
したがって、 \(\mathbb{Q}\)は完全順序体ではない。 \(\square\)