A prima vista, i numeri razionali \(\mathbb{Q}\) sembrano formare un insieme continuo: tra due frazioni qualsiasi, ce n'è sempre un'altra. Ma questa impressione è ingannevole: esistono insiemi di numeri razionali che sono effettivamente limitati, ma il cui estremo superiore o inferiore semplicemente non esiste in \(\mathbb{Q}\) . La ragione sta nell'esistenza di numeri irrazionali come \(\sqrt{2}\) , che, in un certo senso, creano dei buchi invisibili nella retta dei numeri razionali.
Per dimostrare che \(\mathbb{Q}\) non è completo, specificheremo due sottoinsiemi non vuoti di \(\mathbb{Q}\) : uno limitato superiormente ma privo di estremo superiore in \(\mathbb{Q}\) , e un altro limitato inferiormente ma privo di estremo inferiore in \(\mathbb{Q}\) .
Consideriamo l'insieme \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . L'insieme \(X\) non è vuoto, poiché \(1 \in X\) . Se \(x \geq 2\) , allora \(x^2 \geq 4 > 2\) , il che contraddice \(x^2 < 2\) . Pertanto, \(x < 2\) vale per ogni \(x \in X\) . Quindi \(X \subset [0, 2]\) , e \(2\) è uno dei limiti superiori di \(X\) . Pertanto, \(X\) è limitato superiormente.
Sia \(x \in X\) . Mostriamo che esiste un \(n \in \mathbb{N}\) tale che \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Si trova che
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Pertanto \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Poiché \(2 - x^2 > 0\) e \(2x + 1 > 0\) , l'assioma di Archimede garantisce l'esistenza di un \(n \in \mathbb{N}\) . Quindi, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , e quindi \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Consideriamo ora l'insieme \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Ovviamente, \(Y \neq \varnothing\) . Inoltre, \(Y\) è limitato inferiormente e illimitato superiormente, cioè \(Y \subset (0, +\infty)\) . Sia \(y \in Y\) . Mostriamo che esiste un \(m \in \mathbb{N}\) tale che \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Si osserva che
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Pertanto \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Poiché \(y^2 - 2 > 0\) e \(2y > 0\) , l'assioma di Archimede garantisce nuovamente l'esistenza di un \(m \in \mathbb{N}\) . Quindi, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , e quindi \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Supponiamo che \(w = \sup X\) . Non può essere che \(w^2 < 2\) , perché allora \(w \in X\) , e ci sarebbe un \(n \in \mathbb{N}\) tale che \(w + \frac{1}{n} \in X\) e \(w < w + \frac{1}{n}\) , il che contraddice il fatto che \(w\) è un maggiorante di \(X\) . Non può essere nemmeno vero che \(w^2 > 2\) , perché allora \(w \in Y\) , e ci sarebbe un \(m \in \mathbb{N}\) che \(w - \frac{1}{m} \in Y\) e \(w - \frac{1}{m} < w\) , il che contraddice il fatto che \(w\) è l'estremo superiore di \(X\) .
Supponiamo ora che \(v = \inf Y\) . Non può essere vero che \(v^2 > 2\) , perché in tal caso \(v \in Y\) , e \(v\) non sarebbe un limite inferiore di \(Y\) . Analogamente, non può essere vero che \(v^2 < 2\) , perché in tal caso \(v \in X\) , e quindi \(v\) non sarebbe il massimo limite inferiore di \(Y\) .
Le uniche possibilità rimanenti sono quindi \(w^2 = 2\) e \(v^2 = 2\) . Tuttavia, non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a \(2\) . Pertanto \(w = \sup X\) non può esistere in \(\mathbb{Q}\) . Per la stessa ragione, \(v = \inf Y\) non può esistere in \(\mathbb{Q}\) .
Pertanto, \(\mathbb{Q}\) non è un campo completamente ordinato. \(\square\)