Bilangan rasional \(\mathbb{Q}\) sekilas tampak sebagai suatu keseluruhan yang kontinu: di antara dua pecahan, selalu ada pecahan lainnya. Namun kesan ini menyesatkan: ada himpunan bilangan rasional yang memang terbatas, tetapi supremum atau infimumnya sama sekali tidak ada di \(\mathbb{Q}\) . Alasannya terletak pada keberadaan bilangan irasional seperti \(\sqrt{2}\) , yang, dalam arti tertentu, menciptakan lubang tak terlihat pada garis bilangan rasional.
Untuk menunjukkan bahwa \(\mathbb{Q}\) tidak lengkap, kita akan menentukan dua himpunan bagian tak kosong dari \(\mathbb{Q}\) : satu yang terbatas di atas tetapi tidak memiliki supremum di \(\mathbb{Q}\) , dan yang lain yang terbatas di bawah tetapi tidak memiliki infimum di \(\mathbb{Q}\) .
Perhatikan himpunan \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Himpunan \(X\) tidak kosong, karena \(1 \in X\) . Jika \(x \geq 2\) , maka \(x^2 \geq 4 > 2\) , yang bertentangan dengan \(x^2 < 2\) . Oleh karena itu, \(x < 2\) berlaku untuk setiap \(x \in X\) . Dengan demikian \(X \subset [0, 2]\) , dan \(2\) adalah salah satu batas atas dari \(X\) . Oleh karena itu, \(X\) dibatasi di atas.
Misalkan \(x \in X\) . Kita tunjukkan bahwa ada \(n \in \mathbb{N}\) sedemikian sehingga \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Ditemukan bahwa
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Jadi \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Karena \(2 - x^2 > 0\) dan \(2x + 1 > 0\) , aksioma Archimedes menjamin keberadaan \(n \in \mathbb{N}\) . Oleh karena itu, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , dan dengan demikian \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Sekarang perhatikan himpunan \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Jelas, \(Y \neq \varnothing\) . Lebih lanjut, \(Y\) terbatas di bawah dan tak terbatas di atas, yaitu \(Y \subset (0, +\infty)\) . Misalkan \(y \in Y\) . Kita tunjukkan bahwa ada \(m \in \mathbb{N}\) sedemikian sehingga \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Dapat diamati bahwa
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Jadi \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Karena \(y^2 - 2 > 0\) dan \(2y > 0\) , aksioma Archimedes kembali menjamin keberadaan \(m \in \mathbb{N}\) . Oleh karena itu, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , dan dengan demikian \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Misalkan \(w = \sup X\) . Tidak mungkin \(w^2 < 2\) , karena jika demikian maka \(w \in X\) , dan akan ada \(n \in \mathbb{N}\) dengan \(w + \frac{1}{n} \in X\) dan \(w < w + \frac{1}{n}\) , yang bertentangan dengan fakta bahwa \(w\) adalah batas atas dari \(X\) . Tidak mungkin juga benar bahwa \(w^2 > 2\) , karena jika demikian maka \(w \in Y\) , dan akan ada \(m \in \mathbb{N}\) dengan \(w - \frac{1}{m} \in Y\) dan \(w - \frac{1}{m} < w\) , yang bertentangan dengan fakta bahwa \(w\) adalah batas atas terkecil dari \(X\) .
Sekarang mari kita asumsikan bahwa \(v = \inf Y\) . Tidak mungkin benar bahwa \(v^2 > 2\) , karena jika demikian maka \(v \in Y\) , dan \(v\) bukan merupakan batas bawah dari \(Y\) . Demikian pula, tidak mungkin benar bahwa \(v^2 < 2\) , karena jika demikian maka \(v \in X\) , dan dengan demikian \(v\) bukan merupakan batas bawah terbesar dari \(Y\) .
Oleh karena itu, satu-satunya kemungkinan yang tersisa adalah \(w^2 = 2\) dan \(v^2 = 2\) . Namun, tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan \(2\) . Oleh karena itu \(w = \sup X\) tidak dapat ada di \(\mathbb{Q}\) . Karena alasan yang sama, \(v = \inf Y\) tidak dapat ada di \(\mathbb{Q}\) .
Oleh karena itu, \(\mathbb{Q}\) bukanlah medan yang terurut sepenuhnya. \(\square\)