परिमेय संख्याएँ \(\mathbb{Q}\) पहली नज़र में एक सतत पूर्ण संख्या प्रतीत होती हैं: किन्हीं भी दो भिन्नों के बीच एक और भिन्न अवश्य होता है। परन्तु यह धारणा भ्रामक है: परिमेय संख्याओं के ऐसे समुच्चय भी होते हैं जो वास्तव में परिबद्ध होते हैं, परन्तु जिनका सर्वोच्च या न्यूनतम मान \(\mathbb{Q}\) में मौजूद ही नहीं होता। इसका कारण अपरिमेय संख्याओं जैसे \(\sqrt{2}\) का अस्तित्व है, जो एक प्रकार से परिमेय संख्या रेखा में अदृश्य छिद्र उत्पन्न करती हैं।
यह दिखाने के लिए कि \(\mathbb{Q}\) पूर्ण नहीं है, हम \(\mathbb{Q}\) के दो गैर-रिक्त उपसमुच्चय निर्दिष्ट करेंगे: एक जो ऊपर से परिबद्ध है लेकिन \(\mathbb{Q}\) में कोई सर्वोच्च नहीं है, और दूसरा जो नीचे से परिबद्ध है लेकिन \(\mathbb{Q}\) में कोई न्यूनतम नहीं है।
समुच्चय \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) पर विचार करें। समुच्चय \(X\) रिक्त नहीं है, क्योंकि \(1 \in X\) । यदि \(x \geq 2\) है, तो \(x^2 \geq 4 > 2\) , जो \(x^2 < 2\) का खंडन करता है। इसलिए, प्रत्येक \(x \in X\) के लिए \(x < 2\) सत्य है। इस प्रकार \(X \subset [0, 2]\) है, और \(2\) \(X\) की ऊपरी सीमाओं में से एक है। अतः, \(X\) ऊपर से परिबद्ध है।
मान लीजिए \(x \in X\) । हम दिखाते हैं कि एक \(n \in \mathbb{N}\) मौजूद है जैसे कि \(x + \frac{1}{n} \in X\) । यह पाया गया है कि
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
इस प्रकार \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) । चूंकि \(2 - x^2 > 0\) और \(2x + 1 > 0\) है, इसलिए आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध \(n \in \mathbb{N}\) के अस्तित्व की गारंटी देता है। अतः, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , और इस प्रकार \(x + \frac{1}{n} \in X\) ।
अब समुच्चय \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) पर विचार करें। स्पष्टतः, \(Y \neq \varnothing\) । इसके अतिरिक्त, \(Y\) नीचे से परिबद्ध और ऊपर से असीमित है, अर्थात् \(Y \subset (0, +\infty)\) है। मान लीजिए \(y \in Y\) । हम दर्शाते हैं कि एक \(m \in \mathbb{N}\) मौजूद है जैसे कि \(y - \frac{1}{m} \in Y\) । यह देखा गया है कि
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
इस प्रकार \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) । चूंकि \(y^2 - 2 > 0\) और \(2y > 0\) , आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध एक बार फिर \(m \in \mathbb{N}\) के अस्तित्व की गारंटी देता है। इसलिए, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , और इस प्रकार \(y - \frac{1}{m} \in Y\) ।
मान लीजिए \(w = \sup X\) । यह संभव नहीं है कि \(w^2 < 2\) , क्योंकि तब \(w \in X\) होगा, और एक \(n \in \mathbb{N}\) होगा जिसके लिए \(w + \frac{1}{n} \in X\) और \(w < w + \frac{1}{n}\) , जो इस तथ्य का खंडन करता है कि \(w\) \(X\) की ऊपरी सीमा है। यह भी सत्य नहीं है कि \(w^2 > 2\) , क्योंकि तब \(w \in Y\) , और एक \(m \in \mathbb{N}\) ऐसा होगा जिसके लिए \(w - \frac{1}{m} \in Y\) और \(w - \frac{1}{m} < w\) , जो इस तथ्य का खंडन करता है कि \(w\) \(X\) की न्यूनतम ऊपरी सीमा है।
अब मान लीजिए कि \(v = \inf Y\) । यह सत्य नहीं हो सकता कि \(v^2 > 2\) हो, क्योंकि तब \(v \in Y\) होगा, और \(v\) \(Y\) की निचली सीमा नहीं होगी। इसी प्रकार, यह सत्य नहीं हो सकता कि \(v^2 < 2\) , क्योंकि तब \(v \in X\) होगा, और इस प्रकार \(v\) \(Y\) की सबसे बड़ी निचली सीमा नहीं होगी।
अतः शेष संभावनाएँ केवल \(w^2 = 2\) और \(v^2 = 2\) हैं। हालाँकि, कोई भी परिमेय संख्या ऐसी नहीं है जिसका वर्ग \(2\) के बराबर हो। इसलिए \(w = \sup X\) अस्तित्व \(\mathbb{Q}\) में नहीं हो सकता। इसी कारण से, \(v = \inf Y\) का अस्तित्व भी \(\mathbb{Q}\) में नहीं हो सकता।
इसलिए, \(\mathbb{Q}\) एक पूर्णतः क्रमबद्ध क्षेत्र नहीं है। \(\square\)