اعداد گویا \(\mathbb{Q}\) در نگاه اول به صورت یک کل پیوسته به نظر میرسند: بین هر دو کسر، همیشه یک کسر دیگر وجود دارد. اما این تصور فریبنده است: مجموعههایی از اعداد گویا وجود دارند که در واقع کراندار هستند، اما سوپریمم یا اینفیموم آنها به سادگی در \(\mathbb{Q}\) وجود ندارد. دلیل آن در وجود اعداد گنگ مانند \(\sqrt{2}\) نهفته است که به یک معنا، سوراخهای نامرئی در خط اعداد گویا ایجاد میکنند.
برای نشان دادن اینکه \(\mathbb{Q}\) کامل نیست، دو زیرمجموعه غیرتهی از \(\mathbb{Q}\) را مشخص میکنیم: یکی که از بالا کراندار است اما هیچ سوپریمومی در \(\mathbb{Q}\) ندارد، و دیگری که از پایین کراندار است اما هیچ اینفیمومی در \(\mathbb{Q}\) ندارد.
مجموعه \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) را در نظر بگیرید. مجموعه \(X\) خالی نیست، زیرا \(1 \in X\) است. اگر \(x \geq 2\) باشد، آنگاه \(x^2 \geq 4 > 2\) است که \(x^2 < 2\) در تضاد است. بنابراین، \(x < 2\) برای هر \(x \in X\) برقرار است. بنابراین \(X \subset [0, 2]\) و \(2\) یکی از کرانهای بالایی \(X\) است. بنابراین، \(X\) به بالا کراندار است.
فرض کنید \(x \in X\) باشد. نشان میدهیم که یک \(n \in \mathbb{N}\) وجود دارد به طوری که \(x + \frac{1}{n} \in X\) . همچنین مشخص شده است که
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
بنابراین \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . از آنجایی که \(2 - x^2 > 0\) و \(2x + 1 > 0\) ، اصل ارشمیدس وجود \(n \in \mathbb{N}\) را تضمین میکند. بنابراین، \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) ، و بنابراین \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
حال مجموعه \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) را در نظر بگیرید. بدیهی است که \(Y \neq \varnothing\) . علاوه بر این، \(Y\) از پایین کراندار و از بالا نامکران است، یعنی \(Y \subset (0, +\infty)\) . فرض کنید \(y \in Y\) . نشان میدهیم که \(m \in \mathbb{N}\) وجود دارد به طوری که \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . مشاهده میشود که
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
بنابراین \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . از آنجایی که \(y^2 - 2 > 0\) و \(2y > 0\) ، اصل ارشمیدس دوباره وجود \(m \in \mathbb{N}\) را تضمین میکند. بنابراین، \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) ، و بنابراین \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
فرض کنید \(w = \sup X\) . نمیتواند \(w^2 < 2\) باشد، زیرا در آن صورت \(w \in X\) و یک \(n \in \mathbb{N}\) با \(w + \frac{1}{n} \in X\) و \(w < w + \frac{1}{n}\) ، که با این واقعیت که \(w\) یک کران بالای \(X\) است، در تضاد است. همچنین نمیتواند درست باشد که \(w^2 > 2\) باشد، زیرا در آن صورت \(w \in Y\) و یک \(m \in \mathbb{N}\) با \(w - \frac{1}{m} \in Y\) و \(w - \frac{1}{m} < w\) وجود خواهد داشت، که با این واقعیت که \(w\) کوچکترین کران بالای \(X\) است، در تضاد است.
حال فرض میکنیم که \(v = \inf Y\) . نمیتواند درست باشد که \(v^2 > 2\) باشد، زیرا در آن صورت \(v \in Y\) و \(v\) کران پایین \(Y\) نخواهند بود. به همین ترتیب، نمیتواند درست باشد که \(v^2 < 2\) ، زیرا در آن صورت \(v \in X\) و بنابراین \(v\) بزرگترین کران پایین \(Y\) نخواهد بود.
بنابراین تنها احتمالات باقی مانده \(w^2 = 2\) و \(v^2 = 2\) هستند. با این حال، هیچ عدد گویایی وجود ندارد که مربع آن برابر با \(2\) باشد. بنابراین \(w = \sup X\) نمیتواند در \(\mathbb{Q}\) وجود داشته باشد. به همین دلیل، \(v = \inf Y\) نمیتواند در \(\mathbb{Q}\) وجود داشته باشد.
بنابراین، \(\mathbb{Q}\) یک میدان کاملاً مرتب نیست. \(\square\)