Los números racionales \(\mathbb{Q}\) parecen a primera vista un todo continuo: entre dos fracciones cualesquiera, siempre hay otra. Pero esta impresión es engañosa: existen conjuntos de números racionales que, si bien son acotados, tienen supremo o ínfimo simplemente no en \(\mathbb{Q}\) . La razón reside en la existencia de números irracionales como \(\sqrt{2}\) , que, en cierto modo, crean discontinuidades invisibles en la recta numérica racional.
Para demostrar que \(\mathbb{Q}\) no es completo, especificaremos dos subconjuntos no vacíos de \(\mathbb{Q}\) : uno que está acotado superiormente pero no tiene supremo en \(\mathbb{Q}\) , y otro que está acotado inferiormente pero no tiene ínfimo en \(\mathbb{Q}\) .
Consideremos el conjunto \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . El conjunto \(X\) no es vacío, ya que \(1 \in X\) . Si \(x \geq 2\) , entonces \(x^2 \geq 4 > 2\) , lo cual contradice \(x^2 < 2\) . Por lo tanto, \(x < 2\) se cumple para todo \(x \in X\) . Así \(X \subset [0, 2]\) , y \(2\) es una de las cotas superiores de \(X\) . Por lo tanto, \(X\) está acotado superiormente.
Sea \(x \in X\) . Demostramos que existe un \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Se encuentra que
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Por lo tanto \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Dado que \(2 - x^2 > 0\) y \(2x + 1 > 0\) , el axioma de Arquímedes garantiza la existencia de \(n \in \mathbb{N}\) . Por consiguiente, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , y por lo tanto \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Ahora consideremos el conjunto \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Obviamente, \(Y \neq \varnothing\) . Además, \(Y\) está acotado inferiormente y no acotado superiormente, es decir \(Y \subset (0, +\infty)\) . Sea \(y \in Y\) . Demostramos que existe un \(m \in \mathbb{N}\) tal que \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Se observa que
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Por lo tanto \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Dado que \(y^2 - 2 > 0\) y \(2y > 0\) , el axioma de Arquímedes garantiza nuevamente la existencia de un \(m \in \mathbb{N}\) . Por consiguiente, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , y por lo tanto \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Supongamos \(w = \sup X\) . No puede ser que \(w^2 < 2\) , porque entonces \(w \in X\) , y habría un \(n \in \mathbb{N}\) con \(w + \frac{1}{n} \in X\) y \(w < w + \frac{1}{n}\) , lo que contradice el hecho de que \(w\) es una cota superior de \(X\) . Tampoco puede ser cierto que \(w^2 > 2\) , porque entonces \(w \in Y\) , y habría un \(m \in \mathbb{N}\) con \(w - \frac{1}{m} \in Y\) y \(w - \frac{1}{m} < w\) , lo que contradice el hecho de que \(w\) es la menor cota superior de \(X\) .
Supongamos ahora que \(v = \inf Y\) . No puede ser cierto que \(v^2 > 2\) , porque entonces \(v \in Y\) , y \(v\) no sería una cota inferior de \(Y\) . Del mismo modo, no puede ser cierto que \(v^2 < 2\) , porque entonces \(v \in X\) , y por lo tanto \(v\) no sería la mayor cota inferior de \(Y\) .
Por lo tanto, las únicas posibilidades restantes son \(w^2 = 2\) y \(v^2 = 2\) . Sin embargo, no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual a \(2\) . Por consiguiente \(w = \sup X\) no puede existir en \(\mathbb{Q}\) . Por la misma razón, \(v = \inf Y\) no puede existir en \(\mathbb{Q}\) .
Por lo tanto, \(\mathbb{Q}\) no es un cuerpo completamente ordenado. \(\square\)