প্রথম নজরে মূলদ সংখ্যা \(\mathbb{Q}\) একটি অবিচ্ছিন্ন পূর্ণসংখ্যা বলে মনে হয়: যেকোনো দুটি ভগ্নাংশের মধ্যে, সর্বদা আরেকটি থাকে। কিন্তু এই ধারণাটি বিভ্রান্তিকর: এমন মূলদ সংখ্যার সেট রয়েছে যা প্রকৃতপক্ষে আবদ্ধ, কিন্তু যাদের সর্বোচ্চ বা অসীম কেবল \(\mathbb{Q}\) তে বিদ্যমান নেই। কারণটি \(\sqrt{2}\) এর মতো অমূলদ সংখ্যার অস্তিত্বের মধ্যে নিহিত, যা এক অর্থে মূলদ সংখ্যারেখায় অদৃশ্য গর্ত তৈরি করে।
\(\mathbb{Q}\) সম্পূর্ণ নয় তা দেখানোর জন্য, আমরা \(\mathbb{Q}\) এর দুটি খালি উপসেট উল্লেখ করব: একটি যা উপরে আবদ্ধ কিন্তু \(\mathbb{Q}\) তে কোন সর্বোচ্চ নেই, এবং আরেকটি যা নীচে আবদ্ধ কিন্তু \(\mathbb{Q}\) তে কোন সর্বোচ্চ নেই।
\(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) সেটটি বিবেচনা করুন। \(X\) সেটটি খালি নয়, কারণ \(1 \in X\) । যদি \(x \geq 2\) হয়, তাহলে \(x^2 \geq 4 > 2\) , যা \(x^2 < 2\) এর বিরোধিতা করে। অতএব, \(x < 2\) প্রতিটি \(x \in X\) এর জন্য ধারণ করে। সুতরাং \(X \subset [0, 2]\) , এবং \(2\) হল \(X\) এর উপরের সীমার মধ্যে একটি। অতএব, \(X\) উপরে আবদ্ধ।
ধরুন \(x \in X\) । আমরা দেখাই যে একটি \(n \in \mathbb{N}\) বিদ্যমান, যাতে \(x + \frac{1}{n} \in X\) । দেখা গেছে যে
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
সুতরাং \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) । যেহেতু \(2 - x^2 > 0\) এবং \(2x + 1 > 0\) , আর্কিমিডিসের স্বতঃসিদ্ধ একটি \(n \in \mathbb{N}\) এর অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। অতএব, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , এবং এইভাবে \(x + \frac{1}{n} \in X\) ।
এখন \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) সেটটি বিবেচনা করুন। স্পষ্টতই, \(Y \neq \varnothing\) । তদুপরি, \(Y\) নীচে আবদ্ধ এবং উপরে অসীমাবদ্ধ, অর্থাৎ \(Y \subset (0, +\infty)\) । ধরুন \(y \in Y\) । আমরা দেখাই যে একটি \(m \in \mathbb{N}\) বিদ্যমান আছে যাতে \(y - \frac{1}{m} \in Y\) । দেখা গেছে যে
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
সুতরাং \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) । যেহেতু \(y^2 - 2 > 0\) এবং \(2y > 0\) , আর্কিমিডিসের স্বতঃসিদ্ধ আবার একটি \(m \in \mathbb{N}\) এর অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। অতএব, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , এবং এইভাবে \(y - \frac{1}{m} \in Y\) ।
ধরুন \(w = \sup X\) । এটা হতে পারে না যে \(w^2 < 2\) , কারণ তাহলে \(w \in X\) , এবং একটি \(n \in \mathbb{N}\) থাকবে যার সাথে \(w + \frac{1}{n} \in X\) এবং \(w < w + \frac{1}{n}\) , যা এই সত্যের বিরোধিতা করে যে \(w\) হল \(X\) এর একটি উপরের সীমা। এটিও সত্য হতে পারে না যে \(w^2 > 2\) , কারণ তখন \(w \in Y\) , এবং একটি \(m \in \mathbb{N}\) থাকবে যার সাথে \(w - \frac{1}{m} \in Y\) এবং \(w - \frac{1}{m} < w\) থাকবে, যা এই সত্যের বিরোধিতা করে যে \(w\) হল \(X\) এর সর্বনিম্ন উপরের সীমা।
এখন ধরে নেওয়া যাক যে \(v = \inf Y\) । এটা সত্য হতে পারে না যে \(v^2 > 2\) , কারণ তখন \(v \in Y\) , এবং \(v\) \(Y\) এর নিম্ন সীমা হবে না। একইভাবে, এটা সত্য হতে পারে না যে \(v^2 < 2\) , কারণ তখন \(v \in X\) , এবং তাই \(v\) \(Y\) এর সর্বশ্রেষ্ঠ নিম্ন সীমা হবে না।
অতএব, অবশিষ্ট সম্ভাবনাগুলি হল \(w^2 = 2\) এবং \(v^2 = 2\) । তবে, এমন কোনও মূলদ সংখ্যা নেই যার বর্গ \(2\) এর সমান। অতএব \(w = \sup X\) \(\mathbb{Q}\) তে থাকতে পারে না। একই কারণে, \(v = \inf Y\) \(\mathbb{Q}\) তে থাকতে পারে না।
অতএব, \(\mathbb{Q}\) একটি সম্পূর্ণরূপে ক্রমযুক্ত ক্ষেত্র নয়। \(\square\)