تبدو الأعداد النسبية \(\mathbb{Q}\) للوهلة الأولى وحدةً متصلة: فبين أي كسرين يوجد دائمًا كسر آخر. لكن هذا الانطباع خادع: فهناك مجموعات من الأعداد النسبية محدودة بالفعل، لكن قيمتها العليا أو الدنيا غير موجودة في \(\mathbb{Q}\) . ويعود السبب إلى وجود أعداد غير نسبية مثل \(\sqrt{2}\) ، التي تُحدث، بمعنى ما، ثغرات غير مرئية في خط الأعداد النسبية.
لإثبات أن \(\mathbb{Q}\) ليست كاملة، سنحدد مجموعتين جزئيتين غير فارغتين من \(\mathbb{Q}\) : واحدة محدودة من الأعلى ولكن ليس لها قيمة عليا في \(\mathbb{Q}\) ، وأخرى محدودة من الأسفل ولكن ليس لها قيمة دنيا في \(\mathbb{Q}\) .
لنفترض المجموعة \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . المجموعة \(X\) غير فارغة، لأن \(1 \in X\) . إذا كان \(x \geq 2\) ، فإن \(x^2 \geq 4 > 2\) ، وهو ما يتناقض مع \(x^2 < 2\) . لذلك، فإن \(x < 2\) محققة لكل \(x \in X\) . وبالتالي \(X \subset [0, 2]\) ، و \(2\) هو أحد الحدود العليا لـ \(X\) . لذلك، فإن \(X\) محدودة من الأعلى.
ليكن \(x \in X\) . سنبين أنه يوجد عدد \(n \in \mathbb{N}\) بحيث يكون \(x + \frac{1}{n} \in X\) . وقد وُجد أن
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
وبالتالي \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . وبما أنّ \(2 - x^2 > 0\) و \(2x + 1 > 0\) ، فإنّ بديهية أرخميدس تضمن وجود \(n \in \mathbb{N}\) . لذلك، \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) ، وبالتالي فإنّ \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
لننظر الآن إلى المجموعة \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . من الواضح أن \(Y \neq \varnothing\) . علاوة على ذلك، فإن \(Y\) محدودة من الأسفل وغير محدودة من الأعلى، أي أن \(Y \subset (0, +\infty)\) . ليكن \(y \in Y\) . سنبين أنه يوجد \(m \in \mathbb{N}\) بحيث يكون \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . نلاحظ أن
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
وبالتالي \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . وبما أنّ \(y^2 - 2 > 0\) و \(2y > 0\) ، فإنّ بديهية أرخميدس تضمن وجود عنصر \(m \in \mathbb{N}\) . لذلك، \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) ، وبالتالي فإنّ \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
لنفترض أن \(w = \sup X\) . لا يمكن أن يكون \(w^2 < 2\) ، لأنه في هذه الحالة \(w \in X\) ، وسيكون هناك عدد \(n \in \mathbb{N}\) بحيث \(w + \frac{1}{n} \in X\) و \(w < w + \frac{1}{n}\) ، وهذا يناقض حقيقة أن \(w\) حدٌّ أعلى لـ \(X\) . كما لا يمكن أن يكون \(w^2 > 2\) ، لأنه في هذه الحالة \(w \in Y\) ، وسيكون هناك عدد \(m \in \mathbb{N}\) بحيث \(w - \frac{1}{m} \in Y\) و \(w - \frac{1}{m} < w\) ، وهذا يناقض حقيقة أن \(w\) هو أصغر حدٍّ أعلى لـ \(X\) .
لنفترض الآن أن \(v = \inf Y\) . لا يمكن أن يكون \(v^2 > 2\) ، لأنه في هذه الحالة \(v \in Y\) ، ولن يكون \(v\) حدًا أدنى لـ \(Y\) . وبالمثل، لا يمكن أن يكون \(v^2 < 2\) ، لأنه في هذه الحالة \(v \in X\) ، وبالتالي لن يكون \(v\) أكبر حد أدنى لـ \(Y\) .
إذن، الاحتمالات المتبقية الوحيدة هي \(w^2 = 2\) و \(v^2 = 2\) . ومع ذلك، لا يوجد عدد نسبي مربعه يساوي \(2\) . لذلك \(w = \sup X\) في \(\mathbb{Q}\) . وللسبب نفسه، لا يمكن أن يوجد \(v = \inf Y\) في \(\mathbb{Q}\) .
لذلك، فإنّ \(\mathbb{Q}\) ليس حقلاً مرتباً ترتيباً كاملاً. \(\square\)