猜数字时矛盾的获胜策略

托马斯·科弗(Thomas M. Cover)在1987年的“通信和计算中的开放问题”中提出了以下令人惊讶的问题:玩家\(X\)两个不同的自然数\(A\)\(B\)写入两个不同的随机选择的自然数纸条,面朝下放在桌子上。 玩家\(Y\)现在随机选择其中一张纸,查看数字,现在必须确定该数字是小于还是大于桌上仍然朝下的其他数字。


玩家\(Y\)可能不会将正面朝下的牌翻开。 他首先让硬币决定,从而找到了获胜概率为\(50\%\) 。 还有另一种可能性更高的策略吗?

在玩家\(Y\)随机选择两张纸之一之前,他确定一个任意自然数\(C\) 。 然后,他随机翻了两张纸中的一张。 现在,他决定如下:如果倒数是\( \leq C \) ,则选择另一张纸上的数字作为较大的数字; 如果倒数是\( > C\) ,则选择刚倒数的数字作为较大的数字。 令人惊讶的是,现在的获胜概率为\( > 50\% \)

我们首先将两个数字的名称设置为\(A < B\) 。 然后,在选择\(C\)后立即发生以下三种情况之一:

  • 第一种情况: \( C \leq A < B \) :由于不了解\(A\)\(B\) ,因此获胜的概率为\(50\%\) \(B\)
  • 第二种情况: \( A < B \leq C \) :那么,由于不了解\(A\)\(B\) ,因此获胜的概率为\(50\%\)
  • 第三情况下: \( A < C < B \)然后获胜的概率是\(100\%\)因为如果\( B \)第一转动,一个保持与\( B \)并且如果\(A\)转掉,然后切换到\(B\) ,所以您总是选择较大的数字。

出乎意料的是,这种策略也被用在日常生活中:例如,如果您必须在无法获得比较要约的情况下立即决定购买或拒绝购买产品,则可以预先为自己设置财务上限。 如果实际价格满足此限制,则进行购买-否则不进行购买。

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