Dallanmış işlevlerin gösterimi yoluyla

İşlev tanımlarının gösteriminde büyük / küçük harf ayrımıyla kıvrımlı parantezler kullanılmıştır. Bu temsilin de ortadan kaldırılıp kaldırılamayacağına ve fonksiyonun onsuz bir gösterime indirgenip indirgenemeyeceğine dair basit soruyu araştırıyoruz. Örneğin, işlev

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

tek satırlık bir terim kullanan dört temel aritmetik işlemin yardımıyla?


Bu imkansız ve bunu süreklilikle kanıtlıyoruz.

\((x_n)\) dizisini \((x_n)\) \(x_n = \frac{1}{n}\) ile ele alıyoruz. Bu dizi için \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Ek olarak, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Yani \(f\) , \(x=0\) noktasında süreksizdir \(x=0\) yani genel olarak süreksizdir.

Sürekli fonksiyonların toplamı ve çarpımı zincirleme cümlecikleri nedeniyle tekrar sürekli olduğundan, yalnızca dört temel aritmetik işlemin yardımıyla sürekli fonksiyonlar üretilebilir (özellikle asla \(f\) ).

Bununla birlikte, örneğin süreksiz işaret işlevine izin verirsek, böyle bir gösterimi kolayca bulabiliriz. Sonra yani

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

Genel bir \(f\) işlevi için büyük \(f\) küçük harf ayrımı geçerlidir

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Öte yandan, programlama dillerindeki fonksiyonlara bakarsanız, dallar çözülebilir. Örneğin, PHP'deki işaret işlevi şu şekilde eşlenebilir:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) herhangi bir if / else kontrol yapısı olmadan da şu şekilde temsil edilebilir:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Karşılaştırma operatörleri olmadan da yapmak istiyorsanız, bir adım daha ileri gidebilir ve kendinizi bitsel operatörlerin güzel dünyasına kaptırabilirsiniz:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Geri