İki kişinin iki katı

Aynı gün doğmamış iki \(A\) ve \(B\) insanı düşünün ve \(A\) \(B\) den daha gençtir. Göster: Aşağıdakilerin geçerli olduğu tam iki yaş takımyıldızı vardır \(a,b \in \mathbb{N}\) : \(2\cdot a = b\) . İlk set \(d \in \mathbb{R}^+\) yaşı fark olarak \(A\) ve \(B\) , doğumda ve \(A\) ile \( d = d_0 + d_1 \) , \( d_0 \in \mathbb{N}_0, d_1 \in \mathbb{R}, d_1 \in [0;1[\) . Artık \(A\) \(x = x_0 + x_1\) , \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) \(x = x_0 + x_1\) \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) ile \(x = x_0 + x_1\) doğumundan sonra \(x \in \mathbb{R}^+\) \(x_0 \in \mathbb{N}_0, x_1 \in \mathbb{R}, x_1 \in [0;1[\) .


Bu noktada tanım \(a = \lfloor x \rfloor \) ve \(b = \lfloor x+d \rfloor\) . Şimdi aşağıdakilerin geçerli olduğu tüm \(x\) değerlerini belirledik:

$$2 \lfloor x \rfloor = \lfloor x+d \rfloor \Leftrightarrow 2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor$$

1. durum: \(0 \leq x_1 + d_1 < 1\) :

Sonra $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 \Leftrightarrow x_0 = d_0.$$

Bu $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + x_1 \rfloor = d_0$$ ve $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ aranan ilk yaş $$b = \lfloor x + d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{< 1} \rfloor = 2 d_0$$ .

2. durum: \( 1 \leq x_1 + d_1 < 2 \) :

Sonra $$2 \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor x_0 + d_0 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor \Leftrightarrow 2 x_0 = x_0 + d_0 + 1 \Leftrightarrow x_0 = d_0 + 1.$$

Bunun anlamı $$a = \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 \rfloor = \lfloor d_0 + 1 + x_1 \rfloor = d_0 + 1$$ ve $$b = \lfloor x+d \rfloor = \lfloor x_0 + x_1 + d_0 + d_1 \rfloor = \lfloor 2 d_0 + 1 + \underbrace{x_1 + d_1}_{\geq 1} \rfloor = 2 d_0 + 2$$ ikinci yaş takımyıldızı aranıyor.

Örneğin, bu özellikle şu anlama gelir: Anneniz sizi \(20\) yaşında doğurduysa, \(40\) ve \(42\) yaşında sizden tam iki kat daha yaşlıdır. Aynı zamanda \(n\) kez daha eski olup olmadığı ve ne zaman ilginçtir: Burada \(n \in \mathbb{N}\) isteğe bağlı olarak \(x_0 = \frac{d_0}{n-1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow d_0 = k (n-1)\) . Bu nedenle, yalnızca tam sayı yaş farkı \( \lfloor d \rfloor = d_0 \) \(n-1\) katı ise, örneğin yukarıdaki durumda anneniz \(24\) yıl \(6\) Yaşınızın \(6\) katı.

Geri