Bir sayı spirali

Son birkaç gündür StackExchange ile ilgili bir tamsayı spirali ile ilgili şu soruyu ele alıyorum. Aşağıdaki tamsayı sarmalında \(n\) Öğesinin koordinatları için, başlangıç ​​noktasından dışarı doğru sonsuza uzanan kapalı bir formül arıyoruz:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

İlk önce doğal sayıları aşağıdaki gruplara ayırıyoruz:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Biz ararız

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

bir gruptaki başlangıç ​​numarası.

Bir grup içinde eşit boyutta dört alt grup vardır (örneğin \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). \(n\) bir alt gruptan diğerine \(n\) , spiralin yolundaki yön (örneğimizde saat yönünde) de değişir. Geçerli yönü \( b \in \{0,1,2,3\} \) , bir grup içindeki \(na^2\) konumunu bir alt gruptaki öğe sayısına bölerek elde ederiz:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Şimdi bir alt grup içinde birinci eleman belirleyebilir \(g_n\) bir çoklu ekleyerek \(b\) sayısının \(a+1\) başlangıç sayısının bir grup içinde bulunan elemanların \(a^2\) :

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Şimdi basit gözlemle belirleyebiliriz:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

\(f(n)\) 'yi kapalı biçimde ve ayrıca büyük / küçük harf ayrımları olmadan nasıl sunmak istiyoruz. İşaret fonksiyonunu kullanıyoruz, prosedürü burada açıkladım. \(n\) bağlı olarak saf bir formül elde etmek için şunu elde ederiz:

SVG.js'nin yardımıyla, her şeyin bu küçük görselleştirmede gerçekten işe yaradığını görüyoruz:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Spiral Ulam'ın Spirali olarak da bilinir ve asal sayılarla heyecan verici bir ilişkisi vardır.

Geri