Numerele raționale \(\mathbb{Q}\) par la prima vedere a fi un întreg continuu: între oricare două fracții, există întotdeauna o alta. Dar această impresie este înșelătoare: există mulțimi de numere raționale care sunt într-adevăr mărginite, dar al căror suprem sau infimum pur și simplu nu există în \(\mathbb{Q}\) . Motivul constă în existența numerelor iraționale precum \(\sqrt{2}\) , care, într-un fel, creează găuri invizibile în axa numerelor raționale.
Pentru a demonstra că \(\mathbb{Q}\) nu este complet, vom specifica două submulțimi nevide ale lui \(\mathbb{Q}\) : una care este mărginită deasupra, dar nu are suprem în \(\mathbb{Q}\) și o alta care este mărginită inferioară, dar nu are infimum în \(\mathbb{Q}\) .
Considerăm mulțimea \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Mulțimea \(X\) nu este vidă, deoarece \(1 \in X\) . Dacă \(x \geq 2\) , atunci \(x^2 \geq 4 > 2\) , ceea ce contrazice \(x^2 < 2\) \. Prin urmare, \(x < 2\) este valabilă pentru fiecare \(x \in X\) . Astfel \(X \subset [0, 2]\) , iar \(2\) este una dintre limitele superioare ale lui \(X\) . Prin urmare, \(X\) este mărginită superior.
Fie \(x \in X\) . Demonstrăm că există un \(n \in \mathbb{N}\) astfel încât \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Se constată că
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Astfel \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Deoarece \(2 - x^2 > 0\) și \(2x + 1 > 0\) , axioma lui Arhimede garantează existența unui \(n \in \mathbb{N}\) . Prin urmare, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , și astfel \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Acum, considerăm mulțimea \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Evident, \(Y \neq \varnothing\) . În plus, \(Y\) este mărginită inferior și nemărginită superior, adică \(Y \subset (0, +\infty)\) . Fie \(y \in Y\) . Arătăm că există un \(m \in \mathbb{N}\) astfel încât \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Se observă că
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Astfel \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Deoarece \(y^2 - 2 > 0\) și \(2y > 0\) , axioma lui Arhimede garantează din nou existența unui \(m \in \mathbb{N}\) . Prin urmare, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) și, prin urmare \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Să presupunem că \(w = \sup X\) . Nu se poate ca \(w^2 < 2\) , deoarece atunci \(w \in X\) , și ar exista un \(n \in \mathbb{N}\) cu \(w + \frac{1}{n} \in X\) și \(w < w + \frac{1}{n}\) , ceea ce contrazice faptul că \(w\) este o limită superioară a lui \(X\) . De asemenea, nu poate fi adevărat că \(w^2 > 2\) , deoarece atunci \(w \in Y\) , și ar exista un \(m \in \mathbb{N}\) cu \(w - \frac{1}{m} \in Y\) și \(w - \frac{1}{m} < w\) , ceea ce contrazice faptul că \(w\) este cea mai mică limită superioară a lui \(X\) .
Să presupunem acum că \(v = \inf Y\) . Nu poate fi adevărat că \(v^2 > 2\) , deoarece atunci \(v \in Y\) și \(v\) nu ar fi o limită inferioară a lui \(Y\) . De asemenea, nu poate fi adevărat că \(v^2 < 2\) , deoarece atunci \(v \in X\) și, prin urmare \(v\) nu ar fi cea mai mare limită inferioară a lui \(Y\) .
Prin urmare, singurele posibilități rămase sunt \(w^2 = 2\) și \(v^2 = 2\) . Cu toate acestea, nu există niciun număr rațional al cărui pătrat să fie egal cu \(2\) . Prin urmare \(w = \sup X\) nu poate exista în \(\mathbb{Q}\) . Din același motiv, \(v = \inf Y\) nu poate exista în \(\mathbb{Q}\) .
Prin urmare, \(\mathbb{Q}\) nu este un câmp complet ordonat. \(\square\)