Paradoksalna strategia wygrywania przy zgadywaniu liczb

Thomas M. Cover w 1987 roku zadał następujące zadziwiające pytanie: „Otwarte problemy w komunikacji i obliczeniach”: Gracz \(X\) zapisujedwie różne i losowo wybrane liczby naturalne \(A\) i \(B\) na dwóch różnych Zanotuj i umieść je zakryte na stole. Gracz \(Y\) teraz losowo wybiera jeden ztych kawałków papieru, widzi numer i musi teraz zdecydować,czy liczba ta jest mniejsza, czywiększa niż druga liczba, która wciąż jest zakryta nastole.


Spieler \(Y\) darf dabei die verdeckte Karte nicht umdrehen. Er lässt zunächst die Münze entscheiden und hat damit eine Strategie mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von \(50\%\) gefunden. Gibt es eine andere Strategie mit höherer Wahrscheinlichkeit?

Bevor Spieler \(Y\) zufällig einen der beiden Zettel auswählt, bestimmt er eine beliebige natürliche Zahl \(C\). Anschließend dreht er zufällig einen der beiden Zettel um. Nun entscheidet er sich wie folgt: Ist die umgedrehte Zahl \( \leq C \), so wählt er die Zahl auf dem anderen Zettel als die größere aus; ist die umgedrehte Zahl \( > C\), so wählt er die soeben umgedrehte Zahl als die größere aus. Erstaunlicherweise ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit \( > 50\% \).

Wir setzen zunächst die Bezeichnung der beiden Zahlen auf \(A < B\) fest. Dann tritt direkt nach der Wahl von \(C\) genau einer der drei folgenden Fälle ein:

  • 1. Fall: \( C \leq A < B \): Dann liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei \(50\%\), da kein Wissen über \(A\) und \(B\) vorliegt.
  • 2. Fall: \( A < B \leq C \): Dann liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei \(50\%\), da kein Wissen über \(A\) und \(B\) vorliegt.
  • 3. Fall: \( A < C < B \): Dann liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei \(100\%\), da falls \( B \) zuerst umgedreht wird, man bei \( B \) bleibt und falls \(A\) zuerst umgedreht wird, man zu \(B\) wechselt, sich also in jedem Fall für die größere Zahl entscheidet.

Überraschenderweise wendet man diese Strategie auch im täglichen Leben an: Muss man sich zum Beispiel beim Einkauf unmittelbar für oder gegen den Kauf eines Produkts entscheiden, ohne ein Vergleichsangebot einholen zu können, so setzt man sich dafür vorab ein finanzielles Limit. Wenn dieses Limit vom tatsächlichen Preis eingehalten wird, wird der Kauf getätigt – im anderen Falle nicht.

Plecy