De rationale getallen \(\mathbb{Q}\) lijken op het eerste gezicht een continu geheel te vormen: tussen twee willekeurige breuken ligt er altijd een andere. Maar deze indruk is bedrieglijk: er zijn verzamelingen rationale getallen die wel degelijk begrensd zijn, maar waarvan het supremum of infimum simpelweg niet bestaat in \(\mathbb{Q}\) . De reden hiervoor ligt in het bestaan van irrationale getallen zoals \(\sqrt{2}\) , die in zekere zin onzichtbare gaten in de getallenlijn van de rationale getallen creëren.
Om aan te tonen dat \(\mathbb{Q}\) niet volledig is, zullen we twee niet-lege deelverzamelingen van \(\mathbb{Q}\) specificeren: een die naar boven begrensd is maar geen supremum in \(\mathbb{Q}\) heeft, en een andere die naar beneden begrensd is maar geen infimum in \(\mathbb{Q}\) heeft.
Beschouw de verzameling \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . De verzameling \(X\) is niet leeg, aangezien \(1 \in X\) . Als \(x \geq 2\) , dan \(x^2 \geq 4 > 2\) , wat in tegenspraak is met \(x^2 < 2\) . Daarom geldt \(x < 2\) voor elke \(x \in X\) . Dus \(X \subset [0, 2]\) , en \(2\) is een van de bovengrenzen van \(X\) . Daarom is \(X\) naar boven begrensd.
Laat \(x \in X\) . We tonen aan dat er een \(n \in \mathbb{N}\) bestaat zodanig dat \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Er wordt gevonden dat
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Dus \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Omdat \(2 - x^2 > 0\) en \(2x + 1 > 0\) , garandeert het axioma van Archimedes het bestaan van \(n \in \mathbb{N}\) . Daarom is \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , en dus \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Beschouw nu de verzameling \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Uiteraard geldt \(Y \neq \varnothing\) . Bovendien is \(Y\) naar beneden begrensd en naar boven onbegrensd, dat wil zeggen \(Y \subset (0, +\infty)\) . Laat \(y \in Y\) . We tonen aan dat er een \(m \in \mathbb{N}\) bestaat zodanig dat \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Er wordt opgemerkt dat
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Dus \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Omdat \(y^2 - 2 > 0\) en \(2y > 0\) , garandeert het axioma van Archimedes opnieuw het bestaan van een \(m \in \mathbb{N}\) . Daarom is \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , en dus \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Stel dat \(w = \sup X\) . Het kan niet zo zijn dat \(w^2 < 2\) , want dan zou \(w \in X\) , en er zou een \(n \in \mathbb{N}\) zijn met \(w + \frac{1}{n} \in X\) en \(w < w + \frac{1}{n}\) , wat in tegenspraak is met het feit dat \(w\) een bovengrens is van \(X\) . Het kan ook niet waar zijn dat \(w^2 > 2\) , want dan zou \(w \in Y\) , en er zou een \(m \in \mathbb{N}\) zijn met \(w - \frac{1}{m} \in Y\) en \(w - \frac{1}{m} < w\) , wat in tegenspraak is met het feit dat \(w\) de kleinste bovengrens van \(X\) is.
Laten we nu aannemen dat \(v = \inf Y\) . Het kan niet waar zijn dat \(v^2 > 2\) , want dan zou \(v \in Y\) en zou \(v\) geen ondergrens van \(Y\) zijn. Evenzo kan het niet waar zijn dat \(v^2 < 2\) , want dan zou \(v \in X\) en zou \(v\) dus niet de grootste ondergrens van \(Y\) zijn.
De enige overgebleven mogelijkheden zijn daarom \(w^2 = 2\) en \(v^2 = 2\) . Er bestaat echter geen rationaal getal waarvan het kwadraat gelijk is aan \(2\) . Daarom kan \(w = \sup X\) niet bestaan in \(\mathbb{Q}\) . Om dezelfde reden kan \(v = \inf Y\) niet bestaan in \(\mathbb{Q}\) .
Daarom is \(\mathbb{Q}\) geen volledig geordend veld. \(\square\)