Beim Anpfiff eines Fu\u00dfballspiels liegt der Ball auf dem Mittelpunkt des Feldes und wird dann 45 Minuten lang durch Verschiebungen und Drehungen \u00fcber den Platz bewegt. Zu Beginn der 2. Halbzeit liegt der Ball erneut auf dem Mittelpunkt des Spielfeldes. Wir zeigen mit einfachen Mitteln der linearen Algebra, dass dann entweder stets unendlich viele Punkte der Oberfl\u00e4che an exakt derselben Position sind wie im Ursprungszustand\u00a0oder genau 2.<\/p>\n
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Zun\u00e4chst addieren sich die Verschiebungen des Balles, die w\u00e4hrend der 1. Halbzeit ausgef\u00fchrt werden, trivialerweise zum Nullvektor. Sie k\u00f6nnen daher vernachl\u00e4ssigt werden. Es verbleiben damit endlich viele Drehungen \\(A_1, ..., A_n \\in \\mathbb{R}^{3 \\times 3}\\) mit \\(A\\) orthogonal und \\(\\det(A_k) = 1 \\,\\, \\forall \\,\\, k \\in \\{1,...,n\\}\\). F\u00fcr je\u00a0zwei Drehungen \\(A_i, A_j\\) gilt:<\/p>\n
$$ (A_i A_j)^T \u00a0(A_i A_j) = A_j^T \u00a0 A_i^T \u00a0 A_i \u00a0 A_j = A_j^T (A_i^T \u00a0 A_i) \u00a0 A_j = A_j^T \u00a0 E_3 \u00a0 A_j = A_j^T \u00a0 A_j = E_3 $$<\/p>\n
sowie<\/p>\n
$$ \\det(A_i A_j) = \\det(A_i) \\cdot \\det(A_j)=1 \\cdot 1 = 1. $$<\/p>\n
Damit handelt es sich bei \\( A_i A_j \\) erneut um eine Drehung, weshalb \\( A_1 ... A_n \\) ebenso eine einzige Drehung ist.<\/p>\n
Ist nun \\( A_1 ... A_n = E_n \\), so sind offensichtlich alle Punkte der Oberfl\u00e4che des Balles genau am Anfangsort\u00a0\u2013 im anderen (wahrscheinlicheren) Fall\u00a0ist der Eigenvektor von \\( A_1 ... A_n \\) gleich dessen Drehachse mit dem Eigenwert \\(1\\). Damit werden genau diese beiden Punkte, die auf der Drehachse liegen, auf sich selbst abgebildet.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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