Nombor nisbah \(\mathbb{Q}\) pada pandangan pertama kelihatan sebagai satu keseluruhan yang berterusan: antara mana-mana dua pecahan, sentiasa ada yang lain. Tetapi tanggapan ini mengelirukan: terdapat set nombor nisbah yang sememangnya terbatas, tetapi supremum atau infimumnya langsung tidak wujud dalam \(\mathbb{Q}\) . Sebabnya terletak pada kewujudan nombor nisbah seperti \(\sqrt{2}\) , yang, dalam erti kata lain, mewujudkan lubang yang tidak kelihatan dalam garis nombor nisbah.
Untuk menunjukkan bahawa \(\mathbb{Q}\) tidak lengkap, kami akan menyatakan dua subset bukan kosong bagi \(\mathbb{Q}\) : satu yang dibatasi di atas tetapi tidak mempunyai supremum dalam \(\mathbb{Q}\) , dan satu lagi yang dibatasi di bawah tetapi tidak mempunyai infimum dalam \(\mathbb{Q}\) .
Pertimbangkan set \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Set \(X\) tidak kosong, kerana \(1 \in X\) . Jika \(x \geq 2\) , maka \(x^2 \geq 4 > 2\) , yang bercanggah dengan \(x^2 < 2\) . Oleh itu, \(x < 2\) terpakai untuk setiap \(x \in X\) . Oleh itu \(X \subset [0, 2]\) , dan \(2\) ialah salah satu batas atas \(X\) . Oleh itu, \(X\) dibatasi di atas.
Katakan \(x \in X\) . Kita menunjukkan bahawa wujudnya \(n \in \mathbb{N}\) supaya \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Didapati bahawa
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Oleh itu \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Oleh kerana \(2 - x^2 > 0\) dan \(2x + 1 > 0\) , aksiom Archimedes menjamin kewujudan \(n \in \mathbb{N}\) . Oleh itu, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , dan dengan itu \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Sekarang pertimbangkan set \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Jelas sekali, \(Y \neq \varnothing\) . Tambahan pula, \(Y\) dibatasi di bawah dan tidak dibatasi di atas, iaitu \(Y \subset (0, +\infty)\) . Katakan \(y \in Y\) . Kita menunjukkan bahawa wujudnya \(m \in \mathbb{N}\) supaya \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Diperhatikan bahawa
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Oleh itu \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Oleh kerana \(y^2 - 2 > 0\) dan \(2y > 0\) , aksiom Archimedes sekali lagi menjamin kewujudan \(m \in \mathbb{N}\) . Oleh itu, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , dan dengan itu \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Katakan \(w = \sup X\) . Tidak mungkin \(w^2 < 2\) , kerana maka \(w \in X\) , dan akan ada \(n \in \mathbb{N}\) dengan \(w + \frac{1}{n} \in X\) dan \(w < w + \frac{1}{n}\) , yang bercanggah dengan fakta bahawa \(w\) ialah batas atas \(X\) . Ia juga tidak mungkin benar bahawa \(w^2 > 2\) , kerana maka \(w \in Y\) , dan akan ada \(m \in \mathbb{N}\) dengan \(w - \frac{1}{m} \in Y\) dan \(w - \frac{1}{m} < w\) , yang bercanggah dengan fakta bahawa \(w\) ialah batas atas terkecil \(X\) .
Mari kita andaikan bahawa \(v = \inf Y\) . Tidak mungkin benar bahawa \(v^2 > 2\) , kerana maka \(v \in Y\) , dan \(v\) tidak akan menjadi batas bawah \(Y\) . Begitu juga, tidak mungkin benar bahawa \(v^2 < 2\) , kerana maka \(v \in X\) , dan dengan itu \(v\) tidak akan menjadi batas bawah terbesar \(Y\) .
Oleh itu, satu-satunya kemungkinan yang tinggal ialah \(w^2 = 2\) dan \(v^2 = 2\) . Walau bagaimanapun, tiada nombor nisbah yang kuasa duanya sama dengan \(2\) . Oleh itu \(w = \sup X\) tidak boleh wujud dalam \(\mathbb{Q}\) . Atas sebab yang sama, \(v = \inf Y\) tidak boleh wujud dalam \(\mathbb{Q}\) .
Oleh itu, \(\mathbb{Q}\) bukanlah medan yang tersusun sepenuhnya. \(\square\)