ចំនួនសនិទាន \(\mathbb{Q}\) ហាក់ដូចជាចំនួនគត់បន្តនៅត្រង់ចំណុចមួយ៖ រវាងប្រភាគពីរណាមួយ តែងតែមានមួយទៀត។ ប៉ុន្តែចំណាប់អារម្មណ៍នេះគឺជាការបោកបញ្ឆោត៖ មានសំណុំនៃចំនួនសនិទានដែលពិតជាមានព្រំដែន ប៉ុន្តែចំនួនកំពូល ឬចំនួនតូចរបស់វាមិនមាននៅក្នុង \(\mathbb{Q}\) ទេ។ ហេតុផលស្ថិតនៅក្នុងអត្ថិភាពនៃចំនួនអសនិទានដូចជា \(\sqrt{2}\) ដែលក្នុងន័យមួយ បង្កើតរន្ធដែលមើលមិនឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ចំនួនសនិទាន។
ដើម្បីបង្ហាញថា \(\mathbb{Q}\) មិនទាន់ពេញលេញទេ យើងនឹងបញ្ជាក់សំណុំរងពីរដែលមិនទទេនៃ \(\mathbb{Q}\) ៖ មួយត្រូវបានកំណត់ព្រំដែនខាងលើ ប៉ុន្តែមិនមានឧត្តមភាពនៅក្នុង \(\mathbb{Q}\) និងមួយទៀតត្រូវបានកំណត់ព្រំដែនខាងក្រោម ប៉ុន្តែមិនមានអតិបរិមានៅក្នុង \(\mathbb{Q}\) ។
ពិចារណាសំណុំ \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) ។ សំណុំ \(X\) មិនទទេទេ ព្រោះ \(1 \in X\) ។ ប្រសិនបើ \(x \geq 2\) នោះ \(x^2 \geq 4 > 2\) ដែលផ្ទុយនឹង \(x^2 < 2\) ។ ដូច្នេះ \(x < 2\) មានតម្លៃសម្រាប់រាល់ \(x \in X\) ។ ដូច្នេះ \(X \subset [0, 2]\) និង \(2\) គឺជាព្រំដែនខាងលើមួយនៃ \(X\) ។ ដូច្នេះ \(X\) ត្រូវបានកំណត់ព្រំដែនខាងលើ។
ចូរឲ្យ \(x \in X\) ។ យើងបង្ហាញថាមាន \(n \in \mathbb{N}\) ដែល \(x + \frac{1}{n} \in X\) ។ យើងឃើញថា
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
ដូច្នេះ \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) ដោយសារ \(2 - x^2 > 0\) និង \(2x + 1 > 0\) ស្យុងរបស់ Archimedes ធានានូវអត្ថិភាពនៃ \(n \in \mathbb{N}\) ។ ដូច្នេះ \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) ហើយដូច្នេះ \(x + \frac{1}{n} \in X\) ។
ឥឡូវពិចារណាសំណុំ \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) ។ ជាក់ស្តែង \(Y \neq \varnothing\) ។ លើសពីនេះ \(Y\) ត្រូវបានកំណត់ព្រំដែនខាងក្រោម និងគ្មានដែនកំណត់ខាងលើ ពោលគឺ \(Y \subset (0, +\infty)\) ។ សូមឱ្យ \(y \in Y\) ។ យើងបង្ហាញថាមាន \(m \in \mathbb{N}\) ដែល \(y - \frac{1}{m} \in Y\) ។ គេសង្កេតឃើញថា
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
ដូច្នេះ \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) ។ ដោយសារ \(y^2 - 2 > 0\) និង \(2y > 0\) ស្យុងរបស់ Archimedes ធានាម្តងទៀតនូវអត្ថិភាពនៃ \(m \in \mathbb{N}\) ។ ដូច្នេះ \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) ហើយដូច្នេះ \(y - \frac{1}{m} \in Y\) ។
ឧបមាថា \(w = \sup X\) ។ វាមិនអាចជា \(w^2 < 2\) បានទេ ពីព្រោះបន្ទាប់មក \(w \in X\) ហើយនឹងមាន \(n \in \mathbb{N}\) ជាមួយ \(w + \frac{1}{n} \in X\) និង \(w < w + \frac{1}{n}\) ដែលផ្ទុយនឹងការពិតដែលថា \(w\) ជាព្រំដែនខាងលើនៃ \(X\) ។ វាក៏មិនអាចជាការពិតដែលថា \(w^2 > 2\) ដែរ ពីព្រោះបន្ទាប់មក \(w \in Y\) ហើយនឹងមាន \(m \in \mathbb{N}\) ជាមួយ \(w - \frac{1}{m} \in Y\) និង \(w - \frac{1}{m} < w\) ដែលផ្ទុយនឹងការពិតដែលថា \(w\) ជាព្រំដែនខាងលើតូចបំផុតនៃ \(X\) ។
ឥឡូវសូមសន្មតថា \(v = \inf Y\) ។ វាមិនអាចជាការពិតទេដែល \(v^2 > 2\) ពីព្រោះបន្ទាប់មក \(v \in Y\) និង \(v\) នឹងមិនមែនជាព្រំដែនខាងក្រោមនៃ \(Y\) ។ ដូចគ្នានេះដែរ វាមិនអាចជាការពិតទេដែល \(v^2 < 2\) ពីព្រោះបន្ទាប់មក \(v \in X\) ហើយដូច្នេះ \(v\) នឹងមិនមែនជាព្រំដែនខាងក្រោមធំបំផុតនៃ \(Y\) ទេ។
ដូច្នេះលទ្ធភាពដែលនៅសល់តែមួយគត់គឺ \(w^2 = 2\) និង \(v^2 = 2\) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានចំនួនសមហេតុផលដែលការ៉េរបស់វាស្មើនឹង \(2\) ទេ។ ដូច្នេះ \(w = \sup X\) មិនអាចមាននៅក្នុង \(\mathbb{Q}\) បានទេ។ សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា \(v = \inf Y\) មិនអាចមាននៅក្នុង \(\mathbb{Q}\) បានទេ។
ដូច្នេះ \(\mathbb{Q}\) មិនមែនជាវាលដែលមានលំដាប់លំដោយពេញលេញទេ។ \(\square\)