{"id":1537,"date":"2017-04-13T22:53:46","date_gmt":"2017-04-13T20:53:46","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=1537"},"modified":"2020-07-13T01:12:37","modified_gmt":"2020-07-12T23:12:37","slug":"paradoxe-gewinnstrategie-beim-erraten-von-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/paradoxe-gewinnstrategie-beim-erraten-von-zahlen\/","title":{"rendered":"Paradoxe Gewinnstrategie beim Erraten von Zahlen"},"content":{"rendered":"<p>Thomas M. Cover hat 1987 in\u00a0\"Open Problems in Communication and Computation\" folgende,\u00a0<a href=\"https:\/\/books.google.de\/books?id=1yjUBwAAQBAJ&amp;printsec=frontcover\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">verbl\u00fcffende Frage<\/a> gestellt: Spieler \\(X\\) schreibt zwei voneinander verschiedene und zuf\u00e4llig gew\u00e4hlte nat\u00fcrliche Zahlen \\(A\\) und \\(B\\) auf zwei verschiedene Zettel und legt diese verdeckt auf einen Tisch. Spieler \\(Y\\) w\u00e4hlt nun zuf\u00e4llig einen dieser Zettel aus, sieht die Zahl und muss sich nun entscheiden, ob diese Zahl kleiner oder gr\u00f6\u00dfer ist als die andere Zahl, die noch verdeckt auf dem Tisch liegt.<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<p>Spieler \\(Y\\) darf dabei die verdeckte Karte nicht umdrehen. Er l\u00e4sst zun\u00e4chst die M\u00fcnze entscheiden und hat damit eine Strategie mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von \\(50\\%\\) gefunden. Gibt es eine andere Strategie mit h\u00f6herer Wahrscheinlichkeit?<\/p>\n<p>Bevor Spieler \\(Y\\) zuf\u00e4llig einen der beiden Zettel ausw\u00e4hlt, bestimmt\u00a0er eine beliebige nat\u00fcrliche Zahl \\(C\\). Anschlie\u00dfend dreht er zuf\u00e4llig einen der beiden Zettel um. Nun entscheidet er sich wie folgt: Ist die umgedrehte Zahl \\( \\leq C \\), so w\u00e4hlt er die Zahl auf dem anderen Zettel als die gr\u00f6\u00dfere aus; ist die umgedrehte Zahl \\( &gt; C\\), so w\u00e4hlt er die soeben umgedrehte Zahl als die gr\u00f6\u00dfere aus. Erstaunlicherweise ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit \\( &gt; 50\\% \\).<\/p>\n<p>Wir setzen\u00a0zun\u00e4chst die Bezeichnung der beiden Zahlen auf\u00a0\\(A &lt; B\\) fest. Dann tritt direkt nach der Wahl von \\(C\\) genau einer der drei folgenden F\u00e4lle ein:<\/p>\n<ul>\n<li>1. Fall: \\( C \\leq A &lt; B \\): Dann liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei \\(50\\%\\), da kein Wissen \u00fcber \\(A\\) und \\(B\\) vorliegt.<\/li>\n<li>2. Fall: \\( A &lt; B \\leq C \\):\u00a0Dann liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei \\(50\\%\\), da kein Wissen \u00fcber \\(A\\) und \\(B\\) vorliegt.<\/li>\n<li>3. Fall: \\( A &lt; C &lt; B \\): Dann liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei \\(100\\%\\), da falls \\( B \\) zuerst umgedreht wird, man bei \\( B \\) bleibt und falls \\(A\\) zuerst umgedreht wird, man zu \\(B\\) wechselt, sich also in jedem Fall f\u00fcr die gr\u00f6\u00dfere Zahl entscheidet.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00dcberraschenderweise wendet man diese Strategie auch im t\u00e4glichen Leben an: Muss man sich zum Beispiel beim Einkauf unmittelbar f\u00fcr oder gegen den Kauf eines Produkts entscheiden, ohne ein Vergleichsangebot einholen zu k\u00f6nnen, so setzt man sich daf\u00fcr vorab ein finanzielles Limit. Wenn dieses Limit vom tats\u00e4chlichen Preis eingehalten wird, wird der Kauf get\u00e4tigt\u00a0\u2013 im anderen Falle nicht.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Thomas M. 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