{"id":4848,"date":"2026-07-01T09:20:30","date_gmt":"2026-07-01T07:20:30","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=4848"},"modified":"2026-07-01T17:15:01","modified_gmt":"2026-07-01T15:15:01","slug":"wer-weiss-denn-sowas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/wer-weiss-denn-sowas\/","title":{"rendered":"Wer wei\u00df denn sowas?"},"content":{"rendered":"\n

Manchmal reicht eine einzige Frage im Vorabendprogramm (in diesem Fall vom gesch\u00e4tzten Moderator Kai Pflaume), um aus einem harmlosen Quizfinale ein kleines Optimierungsproblem zu machen. Bei \u201eWer wei\u00df denn sowas?\u201c passiert genau das in der Masterfrage<\/a>: Die Kategorie ist bekannt, die Antwort noch nicht \u2013 aber der Einsatz entscheidet bereits vorher, welche Ausg\u00e4nge \u00fcberhaupt noch gut sind.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Nehmen wir zwei Teams \\(A\\) und \\(B\\). Vor der Masterfrage habe Team \\(A\\) den Betrag \\(x_a\\), Team \\(B\\) den Betrag \\(x_b\\) erspielt. Wir betrachten den Fall<\/p>\n\n\n\n

$$
x_a > x_b > 0.
$$<\/p>\n\n\n\n

Die Teams setzen nun ganzzahlige Betr\u00e4ge<\/p>\n\n\n\n

$$
1 \\leq y_a \\leq x_a,\\qquad 1 \\leq y_b \\leq x_b.
$$<\/p>\n\n\n\n

Bei richtiger Antwort wird der gesetzte Betrag addiert, bei falscher Antwort subtrahiert. F\u00fcr die vier m\u00f6glichen F\u00e4lle ergeben sich damit folgende Endst\u00e4nde:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{array}{c|c|c}
\\text{Fall} & A & B\\\\
\\hline
A \\text{ richtig}, B \\text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\\\
A \\text{ richtig}, B \\text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\\end{array}
$$<\/p>\n\n\n\n

Ein Gleichstand f\u00fchrt in der Sendung zu einer Sch\u00e4tzfrage. In der Matrix bleibt er deshalb als eigener Fall \u201e=\u201c sichtbar. F\u00fcr die Prozentwerte der Gewinnwahrscheinlichkeit z\u00e4hlen wir direkte Gewinne in den vier gleich wahrscheinlichen Teilf\u00e4llen. Ein Muster wie \\(|A|B|A|A|\\) liefert f\u00fcr Team \\(A\\) drei direkte Gewinne und f\u00fcr Team \\(B\\) einen. Ein Gleichstand z\u00e4hlt dabei f\u00fcr keines der beiden Teams als direkter Gewinn. Genau diese feinere Z\u00e4hlung ist entscheidend; es reicht nicht, eine ganze Zelle nur als \u201eblau\u201c oder \u201erot\u201c zu z\u00e4hlen.<\/p>\n\n\n\n

Dabei steckt eine Modellannahme drin: Wir behandeln die vier Antwortkombinationen als gleich wahrscheinlich. Es geht also nicht darum, ob Team \\(A\\) oder Team \\(B\\) die Kategorie besser kennt, sondern nur um die Einsatzstrategie vor der Antwort.<\/p>\n\n\n\n

Setzen wir<\/p>\n\n\n\n

$$
d=x_a-x_b.
$$<\/p>\n\n\n\n

Dann ist \\(d>0\\) der Vorsprung von Team \\(A\\). Die Frage lautet nun: Welcher Einsatz ist optimal?<\/p>\n\n\n\n

Die komplette Matrix der m\u00f6glichen Eins\u00e4tze l\u00e4sst sich dynamisch berechnen:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Sicht von Team A<\/h3>\n\n\n\n

Wir pr\u00fcfen zun\u00e4chst, wann Team \\(A\\) bei festen Eins\u00e4tzen \\(y_a\\) und \\(y_b\\) gewinnt.<\/p>\n\n\n\n

Der Fall<\/p>\n\n\n\n

$$
A \\text{ richtig}, B \\text{ falsch}
$$<\/p>\n\n\n\n

geht immer an Team \\(A\\), denn<\/p>\n\n\n\n

$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$<\/p>\n\n\n\n

gilt wegen \\(x_a>x_b\\) und \\(y_a,y_b>0\\) automatisch.<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr die drei anderen F\u00e4lle erhalten wir:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{array}{c|c}
\\text{Fall} & A \\text{ gewinnt genau dann}\\\\
\\hline
A \\text{ richtig}, B \\text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\\end{array}
$$<\/p>\n\n\n\n

Mit \\(x_a=x_b+d\\) wird daraus:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{array}{c|c}
\\text{Fall} & A \\text{ gewinnt genau dann}\\\\
\\hline
A \\text{ richtig}, B \\text{ richtig} & d+y_a>y_b\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ richtig} & d-y_a>y_b\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\\end{array}
$$<\/p>\n\n\n\n

Also:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{array}{c|c}
\\text{Fall} & A \\text{ gewinnt genau dann}\\\\
\\hline
A \\text{ richtig}, B \\text{ richtig} & y_b<y_a+d\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ richtig} & y_b<d-y_a\\\\
A \\text{ falsch}, B \\text{ falsch} & y_b>y_a-d
\\end{array}
$$<\/p>\n\n\n\n

Wichtig ist nun die Z\u00e4hlweise. Fr\u00fcher k\u00f6nnte man versucht sein, jede Zelle nur danach zu bewerten, ob dort insgesamt mehr \\(A\\)- als \\(B\\)-F\u00e4lle stehen. F\u00fcr die Gewinnwahrscheinlichkeit ist das aber zu grob. Die vier Teilf\u00e4lle sind selbst die gleich wahrscheinlichen Ereignisse. Also z\u00e4hlt \\(|A|B|A|A|\\) nicht als ein einziger Sieg von \\(A\\), sondern als drei gewonnene Teilf\u00e4lle f\u00fcr \\(A\\).<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr einen festen Einsatz \\(y_a\\) von Team \\(A\\) summieren wir daher \u00fcber alle m\u00f6glichen Eins\u00e4tze \\(y_b=1,2,\\ldots,x_b\\) die einzelnen \\(A\\)-Eintr\u00e4ge in den vier F\u00e4llen.<\/p>\n\n\n\n

Der Fall \u201e\\(A\\) richtig, \\(B\\) falsch\u201c geht immer an Team \\(A\\). Das liefert bereits \\(x_b\\) gewonnene Teilf\u00e4lle.<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr die drei anderen F\u00e4lle ergeben sich die folgenden Anzahlen:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\\min(x_b,d+y_a-1),\\\\
N_3(y_a)&=\\min(x_b,\\max(0,d-y_a-1)),\\\\
N_4(y_a)&=\\begin{cases}
x_b, & y_a\\leq d,\\\\
\\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\\end{cases}
\\end{aligned}
$$<\/p>\n\n\n\n

Damit ist die Anzahl der von Team \\(A\\) gewonnenen Teilf\u00e4lle<\/p>\n\n\n\n

$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$<\/p>\n\n\n\n

Die zugeh\u00f6rige Gewinnwahrscheinlichkeit ist<\/p>\n\n\n\n

$$
P_A(y_a)=\\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$<\/p>\n\n\n\n

Da der Gleichstand hier nicht mitz\u00e4hlt, ist \\(P_A\\) genau die Wahrscheinlichkeit, die Masterfrage direkt (ohne Sch\u00e4tzfrage) zu gewinnen.<\/p>\n\n\n\n

Durch diese feinere Z\u00e4hlung verschiebt sich das Optimum gegen\u00fcber der reinen Zell-Mehrheit leicht. F\u00fcr Team \\(A\\) ergeben sich folgende optimale Einsatzbereiche:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\boxed{
\\begin{cases}
1\\leq y_a\\leq2, & x_b=1,\\ d=2,\\\\
d\\leq y_a\\leq x_b-d+1, & 2d\\leq x_b+1,\\\\
1\\leq y_a\\leq d, & 2d=x_b+2,\\\\
1\\leq y_a\\leq \\max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\\end{cases}
}
$$<\/p>\n\n\n\n

Alle Eins\u00e4tze in diesem Bereich maximieren die Gewinnwahrscheinlichkeit von Team \\(A\\). Wenn man unter den gleich guten Eins\u00e4tzen den gr\u00f6\u00dftm\u00f6glichen Betrag setzen m\u00f6chte, nimmt man jeweils den rechten Rand des Bereichs.<\/p>\n\n\n\n

Ein Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

$$
x_a=30,\\qquad x_b=22.
$$<\/p>\n\n\n\n

Dann ist<\/p>\n\n\n\n

$$
d=x_a-x_b=8.
$$<\/p>\n\n\n\n

Da<\/p>\n\n\n\n

$$
2d=16\\leq 23=x_b+1
$$<\/p>\n\n\n\n

gilt, ist der optimale Bereich<\/p>\n\n\n\n

$$
8\\leq y_a\\leq 15.
$$<\/p>\n\n\n\n

Der gr\u00f6\u00dfte optimale Einsatz ist also<\/p>\n\n\n\n

$$
\\boxed{y_a=15}.
$$<\/p>\n\n\n\n

Die alte Betrachtung nach ganzen Zellen h\u00e4tte hier den Bereich \\(9\\leq y_a\\leq 14\\) nahegelegt. Die Teilfall-Z\u00e4hlung zeigt genauer, dass auch die beiden Randwerte \\(8\\) und \\(15\\) optimal sind.<\/p>\n\n\n\n

Sicht von Team B<\/h3>\n\n\n\n

Nun betrachten wir dieselbe Situation aus Sicht des zur\u00fcckliegenden Teams \\(B\\). Auch hier z\u00e4hlen wir nicht mehr nur ganze Zellen, sondern die einzelnen \\(B\\)-Eintr\u00e4ge in den vier Teilf\u00e4llen.<\/p>\n\n\n\n

Der Fall<\/p>\n\n\n\n

$$
A \\text{ richtig}, B \\text{ falsch}
$$<\/p>\n\n\n\n

ist f\u00fcr Team \\(B\\) immer verloren. In den drei \u00fcbrigen F\u00e4llen erh\u00e4lt Team \\(B\\) f\u00fcr einen festen Einsatz \\(y_b\\) folgende Anzahlen gewonnener Teilf\u00e4lle, wenn man \u00fcber alle m\u00f6glichen \\(y_a=1,2,\\ldots,x_a\\) summiert:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\\max(0,y_b-d-1),\\\\
M_3(y_b)&=x_a-\\max(0,d-y_b),\\\\
M_4(y_b)&=\\max(0,x_b-y_b).
\\end{aligned}
$$<\/p>\n\n\n\n

Damit ist<\/p>\n\n\n\n

$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$<\/p>\n\n\n\n

und die zugeh\u00f6rige Gewinnwahrscheinlichkeit<\/p>\n\n\n\n

$$
P_B(y_b)=\\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr \\(y_b\\leq d\\) vereinfacht sich das zu<\/p>\n\n\n\n

$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr \\(y_b>d\\) erh\u00e4lt man dagegen nur<\/p>\n\n\n\n

$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$<\/p>\n\n\n\n

Damit ist der optimale Bereich f\u00fcr Team \\(B\\)<\/p>\n\n\n\n

$$
\\boxed{
1\\leq y_b\\leq \\min(d,x_b).
}
$$<\/p>\n\n\n\n

Das ist eine wichtige Korrektur gegen\u00fcber der gr\u00f6beren Zell-Mehrheits-Betrachtung: Der optimale Einsatz von Team \\(B\\) ist nicht zwingend eindeutig \\(1\\). Wenn Team \\(A\\) zum Beispiel mit \\(d=8\\) vorne liegt und Team \\(B\\) h\u00f6chstens \\(22\\) setzen kann, dann sind f\u00fcr \\(B\\) alle Eins\u00e4tze optimal hinsichtlich der Gewinnwahrscheinlichkeit mit:<\/p>\n\n\n\n

$$
1\\leq y_b\\leq 8.
$$<\/p>\n\n\n\n

Die Intuition bleibt aber \u00e4hnlich: Das zur\u00fcckliegende Team sollte nicht unn\u00f6tig hoch setzen. Ein zu hoher Einsatz verbessert zwar einzelne Szenarien, verschlechtert aber andere Teilf\u00e4lle. Sobald \\(y_b\\) \u00fcber den R\u00fcckstand \\(d\\) hinausgeht, verliert Team \\(B\\) in der Summe einen Teilfall. Der F\u00fchrende setzt also so, dass \u00fcber alle m\u00f6glichen Eins\u00e4tze des Gegners m\u00f6glichst viele einzelne Teilf\u00e4lle gewonnen werden.<\/p>\n\n\n\n

Der Verfolger setzt nicht zwingend genau einen Euro, sondern h\u00f6chstens so viel wie der R\u00fcckstand betr\u00e4gt. Die Masterfrage ist damit ein sch\u00f6nes Beispiel daf\u00fcr, wie viel Spieltheorie in einer scheinbar einfachen Quizregel steckt: Entscheidend ist nicht nur, welche Zelle am Ende blau oder rot ist, sondern wie viele der vier Teilf\u00e4lle innerhalb dieser Zelle tats\u00e4chlich gewonnen werden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Manchmal reicht eine einzige Frage im Vorabendprogramm (in diesem Fall vom gesch\u00e4tzten Moderator Kai Pflaume), um aus einem harmlosen Quizfinale ein kleines Optimierungsproblem zu machen. 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