Ob in der Schule oder im Studium: Eine interessante\u00a0Fragestellung, die einem immer mal wieder \u00fcber den Weg l\u00e4uft, beinhaltet die Frage, ob folgende Gleichung wahr ist: \\( 0,99999... = 1 \\). Obwohl im linken Teil der Gleichung die Unendlichkeit schlummert,\u00a0geben wir\u00a0ihm einen Namen: \\(0,99999... = A\\). Nach Multiplikation mit dem Faktor \\(10\\) und einfachen algebraischen Umformungen erhalten wir eine erste erstaunliche Erkenntnis.<\/p>\n
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$$ \\begin{array}{rcll} 9,99999...\u00a0& = & 10\\cdot A\u00a0& \\Leftrightarrow\u00a0\\\\\u00a09 + 0,99999... & = & 10 \\cdot A\u00a0& \\Leftrightarrow\u00a0\\\\\u00a09 + A\u00a0& = & 10 \\cdot A\u00a0& \\Leftrightarrow \\\\ 9 & = & 9 \\cdot A\u00a0& \\Leftrightarrow \\\\ 1 & = & A & \\Leftrightarrow \\\\ 1 & = & 0,99999... & \\end{array}\u00a0$$<\/p>\n
Das war gar nicht so schwer. Doch was passiert, wenn man folgende auf den ersten Blick etwas seltsame anmutende Zahl $$ ...99999 $$ betrachtet, in der sich die Unendlichkeit nicht nach rechts, sondern nach links erstreckt?<\/p>\n
Wir vollziehen dieselben Umformungen wie oben und erhalten:<\/p>\n
$$ \\begin{array}{rcll} ...99999 & = & B\u00a0& \\Leftrightarrow \\\\ ...999990 & = & 10\\cdot B\u00a0& \\Leftrightarrow\u00a0\\\\ B - 9\u00a0& = & 10 \\cdot B\u00a0& \\Leftrightarrow\u00a0\\\\ - 9\u00a0& = & 9\u00a0\\cdot B & \\Leftrightarrow \\\\\u00a0-1\u00a0& = & B\u00a0& \\Leftrightarrow \\\\ -1 & = & ...99999 & \\end{array}\u00a0$$<\/p>\n
Schlussendlich betrachten wir noch die Zahl \\( ...99999,99999... \\)<\/p>\n
und erhalten das auf den ersten Blick erstaunliche Ergebnis<\/p>\n
$$ \\begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C\u00a0& \\Leftrightarrow \\\\ ...99999,99999... & = & 10\\cdot C\u00a0& \\Leftrightarrow\u00a0\\\\ C & = & 10 \\cdot C & \\Leftrightarrow\u00a0\\\\ 0\u00a0& = & 9\u00a0\\cdot C & \\Leftrightarrow \\\\ 0 & = & C & \\end{array}\u00a0$$<\/p>\n
Doch auch dies ist durchaus konsistent, da zum einen \\(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\\) und zum anderen $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ gilt.<\/p>\n
Hinweis: Es wird gezeigt, dass wenn man \\(A, B\\) und \\(C\\) definiert und ihnen einen vern\u00fcnftigen Wert zuordnet, dass dann die Werte \\(1, -1\\) und \\(0\\) lauten.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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