{"id":2125,"date":"2020-08-05T23:06:00","date_gmt":"2020-08-05T21:06:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=2125"},"modified":"2020-08-07T02:32:41","modified_gmt":"2020-08-07T00:32:41","slug":"ueber-die-notation-von-verzweigte-funktionen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/ueber-die-notation-von-verzweigte-funktionen\/","title":{"rendered":"\u00dcber die Notation verzweigter Funktionen"},"content":{"rendered":"\n

Bei der Notation von Funktionsdefinitionen mit Fallunterscheidung verwendet man geschweifte Klammern. Wir gehen der einfachen Frage nach, ob man diese Darstellung auch eliminieren kann und die Funktion auf eine Notation zur\u00fcckf\u00fchren kann, die ohne sie auskommt. L\u00e4sst sich beispielsweise die Funktion<\/p>\n\n\n\n

$$f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, f(x) = \\left\\{\\begin{matrix} 42, & \\text{falls } x = 0 \\\\ x, & \\text{sonst} \\end{matrix}\\right.$$<\/p>\n\n\n\n

mit Hilfe der vier Grundrechenarten mit Hilfe eines einzeiligen Terms darstellen?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Das ist unm\u00f6glich und wir beweisen dies mit Hilfe der Stetigkeit.<\/p>\n\n\n\n

Wir betrachten die Folge \\((x_n)\\) mit \\(x_n = \\frac{1}{n}\\). F\u00fcr diese Folge ist \\( \\lim_{ n \\to \\infty } x_n = \\lim_{ n \\to \\infty } \\frac{1}{n} = 0\\). Au\u00dferdem ist \\(\\lim_{ n \\to \\infty } f(x_n) = \\lim_{ n \\to \\infty } \\frac{1}{n} = 0 \\neq 42 = f(0)\\) . Damit ist \\(f\\) an der Stelle \\(x=0\\) unstetig, insgesamt also unstetig.<\/p>\n\n\n\n

Da wegen den Verkettungss\u00e4tzen die Summe und das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig ist, kann man mit Hilfe der vier Grundrechenarten nur stetige Funktionen (also insbesondere nie \\(f\\)) erzeugen.<\/p>\n\n\n\n

Wenn wir jedoch beispielsweise die unstetige Signumfunktion<\/a> erlauben, k\u00f6nnen wir eine solche Notation leicht finden. Dann ist n\u00e4mlich<\/p>\n\n\n\n

$$f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr eine allgemeine Funktion \\(f\\) mit Fallunterscheidung gilt<\/p>\n\n\n\n

$$f,g,h,a: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, f(x) = \\begin{Bmatrix} g(x), & \\text{falls } a(x) = 0 \\\\ h(x), & \\text{falls } a(x) \\neq 0 \\end{Bmatrix} = sgn^2 \\left(a(x)\\right)\\cdot h(x) + \\left(1-sgn^2\\left(a(x)\\right)\\right)\\cdot g(x).$$<\/p>\n\n\n\n

Betrachtet man hingegen Funktionen in Programmiersprachen, lassen sich Verzweigungen aufl\u00f6sen. So ist beispielsweise in PHP die Signumfunktion abbildbar mit:<\/p>\n\n\n\n

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d<\/p>\n\n\n\n

Auch \\(f\\) l\u00e4sst sich ganz ohne if-\/else-Kontrollstrukturen darstellen mit:<\/p>\n\n\n\n

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d<\/p>\n\n\n\n

Will man zus\u00e4tzlich auf Vergleichsoperatoren verzichten, kann man noch einen Schritt weiter gehen und in die sch\u00f6ne Welt der Bitweisen Operatoren<\/a> eintauchen:<\/p>\n\n\n\n

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Bei der Notation von Funktionsdefinitionen mit Fallunterscheidung verwendet man geschweifte Klammern. Wir gehen der einfachen Frage nach, ob man diese Darstellung auch eliminieren kann und die Funktion auf eine Notation zur\u00fcckf\u00fchren kann, die ohne sie auskommt. 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