Առաջին հայացքից ռացիոնալ թվերը \(\mathbb{Q}\) թվում է անընդհատ ամբողջություն. ցանկացած երկու կոտորակների միջև միշտ կա մեկ այլ կոտորակ։ Սակայն այս տպավորությունը խաբուսիկ է. կան ռացիոնալ թվերի բազմություններ, որոնք իսկապես սահմանափակ են, բայց որոնց գերագույն կամ ինֆիմում պարզապես գոյություն չունի \(\mathbb{Q}\) -ում։ Պատճառը կայանում է \(\sqrt{2}\) ի նման իռացիոնալ թվերի գոյության մեջ, որոնք, որոշ իմաստով, անտեսանելի անցքեր են ստեղծում ռացիոնալ թվային առանցքում։
Որպեսզի ցույց տանք, որ \(\mathbb{Q}\) ամբողջական չէ, մենք կնշենք \(\mathbb{Q}\) -ի երկու ոչ դատարկ ենթաբազմություններ՝ մեկը, որը սահմանափակված է վերևում, բայց \(\mathbb{Q}\) ում չունի սուպրեմում, և մեկը, որը սահմանափակված է ներքևում, բայց \(\mathbb{Q}\) ում չունի ինֆիմում։
Դիտարկենք \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) բազմությունը։ \(X\) բազմությունը դատարկ չէ, քանի որ \(1 \in X\) : Եթե \(x \geq 2\) , ապա \(x^2 \geq 4 > 2\) , որը հակասում է \(x^2 < 2\) ։ Հետևաբար, \(x < 2\) ճիշտ է յուրաքանչյուր \(x \in X\) -ի համար։ Այսպիսով \(X \subset [0, 2]\) , իսկ \(2\) \(X\) -ի վերին սահմաններից մեկն է։ Հետևաբար, \(X\) սահմանափակված է վերևից։
Ենթադրենք \(x \in X\) ։ Մենք ցույց ենք տալիս, որ գոյություն ունի \(n \in \mathbb{N}\) նման մի բան, որ \(x + \frac{1}{n} \in X\) ։ Պարզվում է, որ
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Այսպիսով \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Քանի որ \(2 - x^2 > 0\) և \(2x + 1 > 0\) , Արքիմեդեսի աքսիոմը երաշխավորում է \(n \in \mathbb{N}\) -ի գոյությունը։ Հետևաբար, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , և հետևաբար \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Հիմա դիտարկենք \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) բազմությունը։ Ակնհայտ է, \(Y \neq \varnothing\) : Ավելին, \(Y\) սահմանափակ է ներքևում և անսահմանափակ է վերևում, այսինքն \(Y \subset (0, +\infty)\) : Ենթադրենք \(y \in Y\) : Մենք ցույց ենք տալիս, որ գոյություն ունի այնպիսի \(m \in \mathbb{N}\) որ \(y - \frac{1}{m} \in Y\) : Նկատվում է, որ
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Այսպիսով \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) ։ Քանի որ \(y^2 - 2 > 0\) և \(2y > 0\) , Արքիմեդեսի աքսիոմը կրկին երաշխավորում է \(m \in \mathbb{N}\) ի գոյությունը։ Հետևաբար, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , և հետևաբար \(y - \frac{1}{m} \in Y\) ։
Ենթադրենք \(w = \sup X\) : Չի կարող լինել, որ \(w^2 < 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(w \in X\) , և կլինի \(n \in \mathbb{N}\) , որտեղ \(w + \frac{1}{n} \in X\) ) է, և \(w < w + \frac{1}{n}\) , ինչը հակասում է այն փաստին, որ \(w\) \(X\) -ի վերին սահմանն է: Նաև չի կարող ճիշտ լինել, որ \(w^2 > 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(w \in Y\) , և կլինի \(m \in \mathbb{N}\) որտեղ \(w - \frac{1}{m} \in Y\) է, և \(w - \frac{1}{m} < w\) , ինչը հակասում է այն փաստին, որ \(w\) \(X\) -ի ամենափոքր վերին սահմանն է:
Ենթադրենք, որ \(v = \inf Y\) : Չի կարող ճիշտ լինել, որ \(v^2 > 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(v \in Y\) , և \(v\) \(Y\) ի ստորին սահմանը չեն լինի: Նմանապես, չի կարող ճիշտ լինել, որ \(v^2 < 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(v \in X\) , և հետևաբար \(v\) \(Y\) ամենամեծ ստորին սահմանը չի լինի:
Հետևաբար, մնացած միակ հնարավորություններն են \(w^2 = 2\) և \(v^2 = 2\) : Սակայն չկա ռացիոնալ թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի \(2\) ի: Հետևաբար \(w = \sup X\) չի կարող գոյություն ունենալ \(\mathbb{Q}\) -ում: Նույն պատճառով, \(v = \inf Y\) չի կարող գոյություն ունենալ \(\mathbb{Q}\) -ում:
Հետևաբար, \(\mathbb{Q}\) ը լիովին կարգավորված դաշտ չէ։ \(\square\)