Grundwissen beim Thema Bruchrechnung: Das K\u00fcrzen gleicher Faktoren ist erlaubt. Das K\u00fcrzen gleicher Ziffern ist es nicht. Und doch gibt es Br\u00fcche, bei denen genau dieses verbotene K\u00fcrzen scheinbar funktioniert. Es lohnt sich, eine besonders einfache Familie genauer zu untersuchen: Br\u00fcche, bei denen dieselbe Ziffer am Ende des Z\u00e4hlers und am Anfang des Nenners steht.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Der Z\u00e4hler soll nun aus einer Zahl \\(a\\) und einer angeh\u00e4ngten Ziffer \\(x\\) bestehen, der Nenner aus derselben Ziffer \\(x\\) und einer daran angeh\u00e4ngten Zahl \\(c\\):<\/p>\n\n\n\n
$$\\frac{\\overline{a\\,x}}{\\overline{x\\,c}}$$<\/p>\n\n\n\n
Dabei sei die gesamte Stellenzahl von Z\u00e4hler und Nenner jeweils \\(n \\ge 2\\).<\/p>\n\n\n\n
Dann haben \\(a\\) und \\(c\\) jeweils \\(k=n-1\\) Dezimalstellen. Au\u00dferdem sei \\(x \\in \\{1,\\dots,9\\}\\).<\/p>\n\n\n\n
\nIn normaler Dezimalschreibweise hei\u00dft das:\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\overline{a\\,x}\\,=10a+x$$<\/p>\n\n\n\n
\nund\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\overline{x\\,c}\\,=x10^k+c.$$<\/p>\n\n\n\n
\nDie verbotene, aber hier untersuchte Streichung w\u00e4re also:\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\frac{\\overline{a\\,x}}{\\overline{x\\,c}} \\longmapsto \\frac{a}{c}$$<\/p>\n\n\n\n
\nGesucht sind genau die F\u00e4lle, in denen der Wert dabei unver\u00e4ndert bleibt:\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\frac{10a+x}{x10^k+c}=\\frac{a}{c}$$<\/p>\n\n\n\n
Nun folgt die ganze Struktur bereits aus einfachem Umformen. Durch Kreuzmultiplikation erh\u00e4lt man:<\/p>\n\n\n\n
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$<\/p>\n\n\n\n
\nAusmultipliziert ist das:\n<\/p>\n\n\n\n
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$<\/p>\n\n\n\n
\nBringt man die Terme passend zusammen, folgt:\n<\/p>\n\n\n\n
$$9ac=x(a10^k-c)$$<\/p>\n\n\n\n
\nDa \\(a\\) und \\(c\\) jeweils \\(k\\)-stellige positive ganze Zahlen sind, ist \\(a10^k-c>0\\). Denn \\(a10^k\\) ist auf jeden Fall gr\u00f6\u00dfer als jede \\(k\\)-stellige Zahl \\(c\\). Damit darf man teilen und erh\u00e4lt die zentrale Bedingung:\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\boxed{x=\\frac{9ac}{a10^k-c}}$$<\/p>\n\n\n\n
\nDiese Formel beschreibt exakt, wann das scheinbare K\u00fcrzen in dieser Spezialform funktioniert. Sie ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend: Gilt diese Gleichung, dann kann man alle Umformungen r\u00fcckw\u00e4rts lesen und landet wieder bei:\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\frac{10a+x}{x10^k+c}=\\frac{a}{c}$$<\/p>\n\n\n\n
Entscheidend ist also: Der Ausdruck \\(\\frac{9ac}{a10^k-c}\\) muss am Ende tats\u00e4chlich eine einzelne Dezimalziffer aus \\(\\{1,\\dots,9\\}\\) ergeben. Nur dann entsteht ein solcher Bruch. F\u00fcr echte Br\u00fcche fordert man zus\u00e4tzlich \\(a<c\\). Dann ist n\u00e4mlich auch \\(\\frac{a}{c}<1\\) und wegen der Wertgleichheit ebenso der urspr\u00fcngliche Bruch echt.<\/p>\n\n\n\n
Die Formel \\(\\displaystyle x=\\frac{9ac}{a10^k-c}\\) ist f\u00fcr den Beweis sehr angenehm. Zum tats\u00e4chlichen Finden solcher Beispiele ist aber eine leicht umgestellte Form praktischer. Aus der Gleichung \\(\\frac{10a+x}{x10^k+c}=\\frac{a}{c}\\) hatten wir bereits \\(\\displaystyle 9ac=x(a10^k-c)\\) erhalten. \u00c4quivalent dazu ist \\(\\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\\).<\/p>\n\n\n\n
Nun zerlegen wir den gemeinsamen Teiler von \\(a\\) und \\(x\\). Sei \\(\\displaystyle g=\\gcd(a,x)\\). Dann gibt es Zahlen \\(b\\) und \\(y\\) mit \\(\\displaystyle a=gb\\), \\(\\displaystyle x=gy\\) und \\(\\displaystyle \\gcd(b,y)=1\\). Eingesetzt in \\(\\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\\) ergibt das \\(\\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\\). Da \\(\\displaystyle \\gcd(9b+y,b)=\\gcd(y,b)=1\\) gilt, muss der Faktor \\(9b+y\\) vollst\u00e4ndig den Ausdruck \\(\\displaystyle x10^k\\) teilen. Setzt man also \\(\\displaystyle d=9b+y\\), dann gilt \\(\\displaystyle d\\mid x10^k\\) und au\u00dferdem \\(\\displaystyle d\\equiv y \\pmod 9\\). Umgekehrt bekommt man aus solchen Teilern direkt<\/p>\n\n\n\n
$$\\displaystyle a=g\\frac{d-y}{9}$$<\/p>\n\n\n\n
\nund\n<\/p>\n\n\n\n
$$\\displaystyle c=\\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$<\/p>\n\n\n\n
Damit muss man nicht mehr blind \\(a\\) und \\(c\\) durchprobieren. F\u00fcr jede Ziffer \\(x\\in\\{1,\\dots,9\\}\\), jeden Teiler \\(g\\mid x\\) und jeden passenden Teiler \\(d\\mid x10^k\\) erh\u00e4lt man Kandidaten. \u00dcbrig bleibt nur noch zu pr\u00fcfen, ob \\(a\\) und \\(c\\) wirklich \\(k\\)-stellig sind und, falls man echte Br\u00fcche will, ob \\(a\\) und \\(c\\) wirklich \\(k\\)-stellig sind und, falls man echte Br\u00fcche will, ob \\(a<c\\) gilt. \nZwei Beispiele:\n<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{16}{64}=\\frac{1}{4}$$<\/p>\n\n\n\n \nHier wird die Ziffer \\(6\\) gestrichen.\n<\/p>\n\n\n\n Ein deutlich l\u00e4ngeres Beispiel mit jeweils \\(42\\) Dezimalstellen und rekursivem K\u00fcrzen ist:<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\\frac{1}{4}$$<\/p>\n\n\n\n Auch hier wird dieselbe Ziffer gestrichen: im Z\u00e4hler die letzte \\(6\\), im Nenner die erste \\(6\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Grundwissen beim Thema Bruchrechnung: Das K\u00fcrzen gleicher Faktoren ist erlaubt. Das K\u00fcrzen gleicher Ziffern ist es nicht. Und doch gibt es Br\u00fcche, bei denen genau dieses verbotene K\u00fcrzen scheinbar funktioniert. Es lohnt sich, eine besonders einfache Familie genauer zu untersuchen: Br\u00fcche, bei denen dieselbe Ziffer am Ende des Z\u00e4hlers und am Anfang des Nenners steht.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"gtbabel_prevent_lngs":"","gtbabel_alt_lng":"","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-4816","post","type-post","status-publish","format-standard","category-blog"],"acf":[],"yoast_head":"