Es gibt kein \\(n \\in \\mathbb{Z}^+\\), so dass \\(0 < n < 1\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Beweis: Nehmen wir an, diese Behauptung sei falsch. Dann gibt es ein \\(n \\in \\mathbb{Z}^+\\), so dass \\(0 < n < 1\\). Betrachten wir die Menge \\(S := \\{ m \\in \\mathbb{Z}^+ : 0 < m < 1 \\}\\). Da \\( n \\in S\\), ist \\(S\\) nicht-leer. Nach dem Wohlordnungsprinzip (jede nicht-leere Teilmenge von \\(\\mathbb{Z}^+\\) hat ein kleinstes Element) muss \\(S\\) ein kleinstes Element haben, n\u00e4mlich \\(b := min(S)\\). Dann ist \\(b \\in S\\), das hei\u00dft \\(b \\in \\mathbb{Z}^+\\) und \\(0 < b < 1\\). Eine positive ganze Zahl multipliziert mit einer positiven ganzen Zahl ergibt eine positive ganze Zahl, also \\(b^2 \\in \\mathbb{Z}^+\\). Multipliziert man \\(b\\) mit \\(0<b<1\\), so erh\u00e4lt man \\(0<b^2<b\\), so dass \\(0<b^2<1\\) \u2013 mithin \\(b^2 \\in S\\). Da aber \\(b = min(S)\\), haben wir \\(b \\leq b^2\\), was \\(b^2 < b\\) widerspricht. Damit ist nach Widerspruchsbeweis die Behauptung wahr.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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