| \\(\\#1 \\cup \\#2\\)<\/td> | \\(\\frac{3}{6}=50\\%\\)<\/td> | \\(\\frac{4}{7}=57\\%\\)<\/td> | \\(B\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n\n\n Dabei stellt sich heraus, dass \\(A\\) sowohl in \\(\\#1\\) als auch in \\(\\#2\\) erfolgreicher ist als \\(B\\), jedoch in \\(G\\) erstaunlicherweise \\(B\\) erfolgreicher als \\(A\\) ist. Dieses Beispiel z\u00e4hlt zugleich zu denjenigen mit der kleinsten Menge \\(G\\) mit \\(|G|=13\\). Es gibt kein \\(G\\) mit \\(|G|<13\\) (Beweis durch Brute-Force).<\/p>\n\n\n\n Wir unterteilen nun die Menge \\(G\\) statt in \\(2\\) in \\(3\\) disjunkte Teilmengen \\(\\#1, \\, \\#2, \\, \\#3\\) mit \\(\\#1 \\cup \\#2 \\cup \\#3 = G\\). Dann konstruieren wir den spannenden Fall, dass f\u00fcr jedes Element \\(e_k \\neq \\emptyset\\) der Potenzmenge \\(P(G)\\) von \\(G\\) gilt: $$\\forall e_1, e_2 \\in P(G): |e_1| \\neq |e_2| \\Rightarrow win(e_1) \\neq win(e_2) \\land |e_1| = |e_2| \\Rightarrow win(e_1) = win(e_2)$$<\/p>\n\n\n\n Nach einigen Stunden Brute-Force auf einem handels\u00fcblichen Core i7 l\u00e4sst sich folgendes Beispiel finden:<\/p>\n\n\n\n | <\/td> | \\(A\\)<\/td> | \\(B\\)<\/td> | \\(C\\)<\/td> | \\(win\\)<\/td><\/tr> | | \\(\\#1\\)<\/td> | \\(\\frac{6}{7}=85,71\\%\\)<\/td> | \\(\\frac{12}{15}=80,00\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{22}{37}=59,46\\%\\) <\/td> | \\(A\\)<\/td><\/tr> | | \\(\\#2\\)<\/td> | \\(\\frac{95}{167}=56,89\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{48}{88}=54,55\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{38}{67}=56,72\\%\\) <\/td> | \\(A\\) <\/td><\/tr> | | \\(\\#3\\)<\/td> | \\(\\frac{48}{144}=33,33\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{16}{50}=32,00\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{2}{20}=10,00\\%\\) <\/td> | \\(A\\)<\/td><\/tr> | | \\(\\#1 \\cup \\#2\\)<\/td> | \\(\\frac{101}{174}=58,05\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{60}{103}=58,25\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{60}{104}=57,69\\%\\) <\/td> | \\(B\\)<\/td><\/tr> | | \\(\\#1 \\cup \\#3\\)<\/td> | \\(\\frac{54}{151}=35,76\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{28}{65}=43,08\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{24}{57}=42,11\\%\\) <\/td> | \\(B\\)<\/td><\/tr> | | \\(\\#2 \\cup \\#3\\)<\/td> | \\(\\frac{143}{311}=45,98\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{64}{138}=46,38\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{40}{87}=45,98\\%\\) <\/td> | \\(B\\)<\/td><\/tr> | | \\(\\#1 \\cup \\#2\\cup \\#3\\)<\/td> | \\(\\frac{149}{318}=46,86\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{76}{153}=49,67\\%\\) <\/td> | \\(\\frac{62}{124}=50,00\\%\\) <\/td> | \\(C\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n\n\n Dabei lassen sich (beliebig lange Rechenzeit vorausgesetzt) auch Beispiele f\u00fcr \\(n\\) disjunkte Teilmengen mit demselben Verhalten finden. Treten derartige F\u00e4lle in der Realit\u00e4t auf, sind jedwede Schlussfolgerungen auf eine Empfehlung des Erfolgs einer Gruppe zugleich sinnvoll wie sinnlos.<\/p>\n\n\n\n An dieser Stelle empfiehlt sich auch die spannende Lekt\u00fcre Causality: Models, Reasoning and Inference von Judea Pearl<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Das simpsonsche Paradoxon geh\u00f6rt zu den einfach verst\u00e4ndlichen und zugleich verbl\u00fcffenden Ph\u00e4nomenen der Statistik. Es tritt immer dann auf, wenn Gruppen von Daten einen bestimmten Trend anzeigen, dieser Trend sich jedoch umkehrt, wenn die Gruppen miteinander kombiniert werden. Anhand eines einfachen Beispiels l\u00e4sst sich das Paradoxon sofort nachvollziehen.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"gtbabel_prevent_lngs":"","gtbabel_alt_lng":"","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-2399","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-blog"},"acf":[],"yoast_head":" Das Simpson-Paradoxon < Vielhuber David<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Das simpsonsche Paradoxon geh\u00f6rt zu den einfach verst\u00e4ndlichen und zugleich verbl\u00fcffenden Ph\u00e4nomenen der Statistik. 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