L'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) apparaît de prime abord comme un tout continu : entre deux fractions quelconques, il en existe toujours une autre. Mais cette impression est trompeuse : il existe des ensembles de nombres rationnels qui sont certes bornés, mais dont la borne supérieure ou inférieure n'existe tout simplement pas dans \(\mathbb{Q}\) . La raison en est l'existence de nombres irrationnels comme \(\sqrt{2}\) , qui, en un sens, créent des discontinuités invisibles dans la droite des nombres rationnels.
Pour montrer que \(\mathbb{Q}\) n'est pas complet, nous allons spécifier deux sous-ensembles non vides de \(\mathbb{Q}\) : l'un qui est borné supérieurement mais n'a pas de supremum dans \(\mathbb{Q}\) , et l'autre qui est borné inférieurement mais n'a pas d'infimum dans \(\mathbb{Q}\) .
Considérons l'ensemble \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Cet ensemble \(X\) n'est pas vide, puisque \(1 \in X\) . Si \(x \geq 2\) , alors \(x^2 \geq 4 > 2\) , ce qui contredit \(x^2 < 2\) . Par conséquent, \(x < 2\) est vérifié pour tout \(x \in X\) . Ainsi \(X \subset [0, 2]\) , et \(2\) est une majoration de \(X\) . Par conséquent, \(X\) est majoré.
Soit \(x \in X\) . Nous montrons qu'il existe un \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(x + \frac{1}{n} \in X\) . On constate que
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Ainsi \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Puisque \(2 - x^2 > 0\) et \(2x + 1 > 0\) , l'axiome d'Archimède garantit l'existence de \(n \in \mathbb{N}\) . Par conséquent, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , et donc \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Considérons maintenant l'ensemble \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . De toute évidence, \(Y \neq \varnothing\) . De plus, \(Y\) est minoré et majoré, c'est \(Y \subset (0, +\infty)\) . Soit \(y \in Y\) . Nous allons montrer qu'il existe un \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . On observe que
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Ainsi \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Puisque \(y^2 - 2 > 0\) et \(2y > 0\) , l'axiome d'Archimède garantit à nouveau l'existence d'un \(m \in \mathbb{N}\) . Par conséquent, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , et donc \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Supposons que \(w = \sup X\) . Il est impossible que \(w^2 < 2\) , car alors \(w \in X\) , et il existerait un \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(w + \frac{1}{n} \in X\) et \(w < w + \frac{1}{n}\) , ce qui contredit le fait que \(w\) est une borne supérieure de \(X\) . De même, il est impossible que \(w^2 > 2\) , car alors \(w \in Y\) , et il existerait un \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(w - \frac{1}{m} \in Y\) et \(w - \frac{1}{m} < w\) , ce qui contredit le fait que \(w\) est la plus petite borne supérieure de \(X\) .
Supposons maintenant que \(v = \inf Y\) . Il est impossible que \(v^2 > 2\) , car alors \(v \in Y\) , et \(v\) ne serait pas une borne inférieure de \(Y\) . De même, il est impossible que \(v^2 < 2\) , car alors \(v \in X\) , et donc \(v\) ne serait pas la plus grande borne inférieure de \(Y\) .
Les seules possibilités restantes sont donc \(w^2 = 2\) et \(v^2 = 2\) . Or, il n'existe aucun nombre rationnel dont le carré est égal à \(2\) . Par conséquent \(w = \sup X\) ne peut exister dans \(\mathbb{Q}\) . Pour la même raison, \(v = \inf Y\) ne peut exister dans \(\mathbb{Q}\) .
Par conséquent, \(\mathbb{Q}\) n'est pas un corps complètement ordonné. \(\square\)