{"id":4765,"date":"2026-05-25T06:34:57","date_gmt":"2026-05-25T04:34:57","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=4765"},"modified":"2026-05-25T07:05:20","modified_gmt":"2026-05-25T05:05:20","slug":"teilbarkeit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/teilbarkeit\/","title":{"rendered":"Teilbarkeit"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bei <strong>Wer wird Million\u00e4r<\/strong> gab es neulich eine sch\u00f6ne kleine Frage, \u00fcber die G\u00fcnther Jauch sichtlich nachdenken musste: <em>\u201eEine Zahl ist immer dann ohne Rest durch \\(4\\) teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl \u2026?\"<\/em> \u2013 und genau hier muss man kurz mathematisch denken, statt sich von den h\u00fcbschen Ablenkern locken zu lassen. Denn w\u00e4hrend Antworten wie \u201egerade ist\u201c, \u201eeine \\(0\\) enth\u00e4lt\u201c oder \u201edie Quersumme \\(4\\) ergibt\u201c auf den ersten Blick plausibel klingen, steckt hinter der richtigen Antwort eine einfache Eigenschaft unseres Dezimalsystems.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1169\" height=\"779\" src=\"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/Screenshot_11.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4766\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Eine Zahl \\(X\\) ist genau dann durch \\(4\\) teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch \\(4\\) teilbar ist. Der Beweis folgt unmittelbar aus der Dezimaldarstellung. Jede nat\u00fcrliche Zahl \\(X\\) l\u00e4sst sich eindeutig in der Form<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>X = 100 \\cdot X' + X''<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">schreiben, wobei \\(X''\\) die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl ist, also \\(0 \\leq X'' &lt; 100\\), und \\(X'\\) der davorstehende Zahlenteil. Da<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>100 = 25 \\cdot 4<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">gilt, folgt<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>X = 25 \\cdot 4 \\cdot X' + X''.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Der erste Summand \\(25 \\cdot 4 \\cdot X'\\) ist unabh\u00e4ngig von \\(X'\\) stets durch \\(4\\) teilbar. F\u00fcr den Rest von \\(X\\) bei Division durch \\(4\\) ist daher ausschlie\u00dflich \\(X''\\) relevant. Formal ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>X \\equiv X'' \\pmod{4}.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Damit gilt insbesondere:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>4 \\mid X \\iff 4 \\mid X''.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00c4hnliche Teilbarkeitsregeln entstehen immer dann, wenn eine Potenz von \\(10\\) modulo einer Zahl besonders einfach wird. Bei der Teilbarkeit durch \\(4\\) war entscheidend, dass \\(100 \\equiv 0 \\pmod 4\\) gilt. Noch interessanter wird es, wenn statt \\(0\\) die Werte \\(1\\) oder \\(-1\\) auftreten.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ein klassisches Beispiel ist die Teilbarkeit durch \\(11\\). Da<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>10 \\equiv -1 \\pmod{11}<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">gilt, wechseln die Stellenwerte einer Dezimalzahl modulo \\(11\\) immer zwischen \\(1\\) und \\(-1\\). F\u00fcr<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \\dots<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">folgt daher<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>X \\equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \\dots \\pmod{11}.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Eine Zahl ist also genau dann durch \\(11\\) teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch \\(11\\) teilbar ist. Bei \\(918082\\) erh\u00e4lt man etwa<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">und da \\(-22\\) durch \\(11\\) teilbar ist, ist auch \\(918082\\) durch \\(11\\) teilbar.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Noch sch\u00f6ner ist die Regel f\u00fcr \\(7\\), \\(11\\) und \\(13\\) zugleich. Es gilt n\u00e4mlich<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>1001 = 7 \\cdot 11 \\cdot 13<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">und damit<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>1000 \\equiv -1 \\pmod{7}, \\qquad<br>1000 \\equiv -1 \\pmod{11}, \\qquad<br>1000 \\equiv -1 \\pmod{13}.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Teilt man eine Zahl von rechts nach links in Dreierbl\u00f6cke auf, darf man diese Bl\u00f6cke deshalb abwechselnd addieren und subtrahieren. F\u00fcr<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>X = 123456789<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">betrachtet man also<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>789 - 456 + 123 = 456.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die urspr\u00fcngliche Zahl hat modulo \\(7\\), \\(11\\) und \\(13\\) denselben Rest wie \\(456\\). Damit kann eine sehr gro\u00dfe Zahl durch eine wesentlich kleinere ersetzt werden, ohne die Teilbarkeit durch diese drei Zahlen zu ver\u00e4ndern.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Auch die Teilbarkeit durch \\(37\\) besitzt eine \u00fcberraschend elegante Form. Da<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>999 = 27 \\cdot 37<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">gilt, ist<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>1000 \\equiv 1 \\pmod{37}.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bei der Teilbarkeit durch \\(37\\) darf man daher die Dreierbl\u00f6cke einfach addieren. Beispielsweise wird aus<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>99937<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">die Summe<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>99 + 937 = 1036.<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Da<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\[<br>1036 = 28 \\cdot 37<br>\\]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">ist, ist auch \\(99937\\) durch \\(37\\) teilbar.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Solche Regeln wirken zun\u00e4chst wie Zahlentricks, sind aber letztlich nur Anwendungen derselben Idee: Man ersetzt hohe Zehnerpotenzen durch einfache Reste modulo der gesuchten Zahl. Aus einer gro\u00dfen Dezimalzahl wird dadurch eine kleine Rechnung mit Kongruenzen. Genau deshalb sind solche Teilbarkeitsregeln mehr als blo\u00dfe Rechentricks, n\u00e4mlich die Reduktion auf Reste modulo \\(10^k\\): Sie wirken im Quizformat wie kleine Denkfallen, f\u00fchren aber direkt zu einer erstaunlich eleganten Idee der Zahlentheorie.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bei Wer wird Million\u00e4r gab es neulich eine sch\u00f6ne kleine Frage, \u00fcber die G\u00fcnther Jauch sichtlich nachdenken musste: \u201eEine Zahl ist immer dann ohne Rest durch \\(4\\) teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl \u2026?\" \u2013 und genau hier muss man kurz mathematisch denken, statt sich von den h\u00fcbschen Ablenkern locken zu [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"gtbabel_prevent_lngs":"","gtbabel_alt_lng":"","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-4765","post","type-post","status-publish","format-standard","category-blog"],"acf":[],"yoast_head":"<title>Teilbarkeit &#060; 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