{"id":4751,"date":"2026-05-21T07:27:36","date_gmt":"2026-05-21T05:27:36","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=4751"},"modified":"2026-05-21T07:51:50","modified_gmt":"2026-05-21T05:51:50","slug":"ki-gegen-erdos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/ki-gegen-erdos\/","title":{"rendered":"KI gegen Erd\u0151s"},"content":{"rendered":"\n

Manche mathematischen Probleme sind so einfach formuliert, dass man sie einem Kind erkl\u00e4ren kann, und gleichzeitig so schwer, dass sie Generationen von Mathematikern besch\u00e4ftigen. Eines davon ist das sogenannte Einheitsabstandsproblem: Lege \\(n\\) Punkte in die Ebene. Wie viele Punktpaare k\u00f6nnen dann exakt den Abstand \\(1\\) haben? Das Problem geht auf Paul Erd\u0151s zur\u00fcck und wurde seit 1946 untersucht. OpenAI<\/a> hat nun ver\u00f6ffentlicht, dass ein internes Modell eine lange geglaubte Vermutung zu diesem Problem widerlegt hat. <\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Zun\u00e4chst klingt die Frage harmlos. Wenn man \\(n\\) Punkte auf eine Gerade legt, erh\u00e4lt man ungef\u00e4hr \\(n-1\\) Abst\u00e4nde der L\u00e4nge \\(1\\). Legt man die Punkte als Gitter an, also wie auf kariertem Papier, entstehen schon deutlich mehr solcher Abst\u00e4nde: horizontal und vertikal zwischen benachbarten Punkten. Erd\u0151s fand bereits Konstruktionen, die etwas besser sind als linear. Lange glaubte man aber, dass dies im Wesentlichen nicht stark verbessert werden kann. Formal ging es um die Vermutung, dass die maximale Anzahl solcher Einheitsabst\u00e4nde nur ungef\u00e4hr \\(n^{1+o(1)}\\) w\u00e4chst, also zwar etwas schneller als \\(n\\), aber nicht mit einem festen zus\u00e4tzlichen Exponenten.<\/p>\n\n\n\n

Genau das ist nun der \u00fcberraschende Punkt: Das OpenAI-Modell (welches, wurde nicht kommuniziert) konstruierte nicht nur ein einzelnes Gegenbeispiel, sondern eine unendliche Familie von Punktmengen \\(P\\), f\u00fcr die die Anzahl der Einheitsabst\u00e4nde mindestens \\(|P|^{1+\\delta}\\) betr\u00e4gt, mit einem festen \\(\\delta>0\\). Eine sp\u00e4tere Verfeinerung von Will Sawin gibt laut OpenAI sogar \\(\\delta=0{,}014\\) an. Das klingt klein, ist aber mathematisch riesig: Es ist kein logarithmischer Rest mehr, sondern ein echter polynomialer Gewinn.<\/p>\n\n\n\n

Ein kleines Beispiel zeigt zumindest die Grundidee. Betrachten wir die komplexe Zahl<\/p>\n\n\n\n

\\[
u=\\frac{2+i}{2-i}=\\frac{3+4i}{5}=\\frac35+\\frac45i.
\\]<\/p>\n\n\n\n

Diese Zahl hat Betrag \\(1\\), denn<\/p>\n\n\n\n

\\[
\\left|\\frac35+\\frac45i\\right|=\\sqrt{\\left(\\frac35\\right)^2+\\left(\\frac45\\right)^2}=1.
\\]<\/p>\n\n\n\n

Wenn also \\(x\\) ein Punkt in der Ebene ist, dann haben \\(x\\) und \\(x+u\\) exakt Abstand \\(1\\). Konkret liegen also zum Beispiel die Punkte<\/p>\n\n\n\n

\\[
0
\\quad\\text{und}\\quad
\\frac35+\\frac45i
\\]<\/p>\n\n\n\n

genau eine Einheit auseinander. Aus einem zahlentheoretischen Ausdruck entsteht damit eine geometrische Richtung der L\u00e4nge \\(1\\). Das ist noch nicht der gro\u00dfe Gegenbeweis, aber es ist die kleine Version des Tricks: Man sucht nicht nur horizontale und vertikale Einheitsabst\u00e4nde wie im Gitter, sondern viele arithmetisch erzeugte Richtungen, die alle exakt L\u00e4nge \\(1\\) haben.<\/p>\n\n\n\n

Die echte Konstruktion macht das mit wesentlich st\u00e4rkeren Werkzeugen. Statt nur mit den gau\u00dfschen Zahlen \\(\\mathbb{Z}[i]\\) zu arbeiten, verwendet der Beweis kompliziertere algebraische Zahlk\u00f6rper \\(K=L(i)\\). Dort werden viele Elemente der Form<\/p>\n\n\n\n

\\[
u=\\frac{\\alpha}{c(\\alpha)}
\\]<\/p>\n\n\n\n

gebaut, wobei \\(c\\) die Rolle der komplexen Konjugation spielt. Der entscheidende Effekt ist: Unter den relevanten komplexen Einbettungen haben diese \\(u\\) jeweils Betrag \\(1\\). Sie sind also Kandidaten f\u00fcr viele verschiedene Einheitsrichtungen.<\/p>\n\n\n\n

Sehr grob sieht ein echtes Gegenbeispiel daher nicht wie ein kleines h\u00fcbsches Bild mit zehn Punkten aus, sondern wie ein riesiger, arithmetisch gebauter Punkteschwarm. Man nimmt ein hochdimensionales Gitter, schneidet daraus passende Punkte heraus, und projiziert diese anschlie\u00dfend wieder in die gew\u00f6hnliche Ebene. In der Beweisnotation steckt das ungef\u00e4hr in der Form<\/p>\n\n\n\n

\\[
P_j=\\pi_1\\big((y+\\Lambda_j)\\cap W\\big),
\\]<\/p>\n\n\n\n

also: Man nimmt Punkte aus einem verschobenen Gitter \\(y+\\Lambda_j\\), beschr\u00e4nkt sie durch einen Bereich \\(W\\), und projiziert sie mit \\(\\pi_1\\) auf eine komplexe Koordinate, also auf \\(\\mathbb{C}\\cong\\mathbb{R}^2\\). Viele Differenzen zwischen diesen Punkten sind dann genau solche \\(u\\)-Elemente mit Betrag \\(1\\). Deshalb werden sie nach der Projektion zu echten Einheitsabst\u00e4nden in der Ebene.<\/p>\n\n\n\n

Anschaulich kann man sich das so vorstellen: Das normale Gitter nutzt wenige einfache Richtungen, etwa rechts, links, oben und unten. Die neue Konstruktion erzeugt dagegen sehr viele versteckte Richtungen, die aus algebraischer Zahlentheorie kommen. Jede einzelne Richtung ist exakt eine Einheit lang. Da es sehr viele solcher Richtungen gibt und viele Punkte passend dazu liegen, entstehen insgesamt mehr Einheitsabst\u00e4nde, als die alte Vermutung erlauben w\u00fcrde.<\/p>\n\n\n\n

Bemerkenswert ist auch, woher der Beweis kommt. Laut OpenAI wurde die L\u00f6sung autonom von einem allgemeinen Reasoning-Modell gefunden, nicht von einem speziell f\u00fcr dieses Problem trainierten Mathematiksystem. Anschlie\u00dfend wurde der Beweis intern und extern gepr\u00fcft und in eine menschlich lesbare Form gebracht. Auch die Begleitnotizen externer Mathematiker betonen, dass hier nicht nur eine bekannte Methode automatisiert wurde, sondern eine unerwartete Verbindung zwischen diskreter Geometrie und algebraischer Zahlentheorie sichtbar wurde.<\/p>\n\n\n\n

Das ist wahrscheinlich der eigentliche Grund, warum dieses Ergebnis so interessant ist. Es geht nicht nur darum, dass eine KI eine Aufgabe richtig gel\u00f6st hat. Es geht darum, dass sie einen Weg gefunden hat, der f\u00fcr viele Menschen nicht naheliegend war: ein geometrisches Problem \u00fcber Abst\u00e4nde in der Ebene mit tiefen Werkzeugen aus der Zahlentheorie anzugreifen. Mathematik bleibt dadurch nicht weniger menschlich. Aber sie bekommt einen neuen, ziemlich unangenehm starken Mitspieler.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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