{"id":1391,"date":"2016-11-04T00:26:00","date_gmt":"2016-11-03T23:26:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=1391"},"modified":"2020-10-13T00:32:57","modified_gmt":"2020-10-12T22:32:57","slug":"eine-zeile-fuer-die-unendlichkeit-der-primzahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zeile-fuer-die-unendlichkeit-der-primzahlen\/","title":{"rendered":"Eine Zeile f\u00fcr die Unendlichkeit der Primzahlen"},"content":{"rendered":"<p>Es gibt zahlreiche Beweise der Unendlichkeit der Primzahlen \u2013 der bekannte\u00a0<a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Satz_von_Euklid\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Satz von Euklid<\/a>\u00a0aus dem Buch der Elemente\u00a0fehlt in keiner Grundvorlesung zur Zahlentheorie. Im <a href=\"https:\/\/www.jstor.org\/stable\/10.4169\/amer.math.monthly.122.5.fm?seq=1\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">American Mathematical Monthly (Ausgabe 122)<\/a>\u00a0ver\u00f6ffentlichte 2015 Sam Northshield einen nicht minder eleganten Widerspruchsbeweis in Form eines\u00a0Einzeilers, den ich euch (mit kurzen Anmerkungen) nicht vorenthalten will.<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<p>$$0 &lt; \\prod_{p} \\sin \\underbrace{ \\left( \\frac{\\pi}{p} \\right) }_{ &lt; \\pi, \\text{ da } p &gt; 1 } = \\prod_{p} \\sin \\left( \\frac{\\pi}{p} + 2 \\pi \\underbrace{ \\frac{ \\prod_{p'} p' }{p} }_{ \\in \\mathbb{N} } \\right) = \\prod_{p} \\sin \\left( \\pi \\underbrace{ \\frac{ 1 + 2 \\prod_{p'} p' }{p} }_{ \\in \\mathbb{N}, \\text{ da } \\left( 1 + 2 \\prod_{p'} p' \\right) \\notin \\mathbb{P} } \\right) = 0$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Es gibt zahlreiche Beweise der Unendlichkeit der Primzahlen \u2013 der bekannte\u00a0Satz von Euklid\u00a0aus dem Buch der Elemente\u00a0fehlt in keiner Grundvorlesung zur Zahlentheorie. 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