{"id":4934,"date":"2026-07-30T12:13:55","date_gmt":"2026-07-30T10:13:55","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=4934"},"modified":"2026-07-30T14:35:57","modified_gmt":"2026-07-30T12:35:57","slug":"rundungsfehler-beim-uebertritt","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/rundungsfehler-beim-uebertritt\/","title":{"rendered":"Rundungsfehler beim \u00dcbertritt"},"content":{"rendered":"\n

\n Eine Gesamtdurchschnittsnote von \\(2{,}33\\) bescheinigt in Bayern die Eignung f\u00fcr das Gymnasium, \\(2{,}34\\) nicht\n mehr. Bei dieser scharfen Grenze kann die Reihenfolge zweier Rundungen entscheiden, auf welcher Seite ein Kind\n landet. In einem\n Blogbeitrag von G\u00fcnther Felbinger<\/a>\n werden die m\u00f6glichen Folgen dieses Rundungseffekts diskutiert. Rein Interesse halber habe ich die Auswirkungen selbst \u00fcber alle im Modell zugelassenen Notenkombinationen hinweg berechnet.\n<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

\n Im Mittelpunkt steht f\u00fcr mich die Frage: Wie oft f\u00fchrt die fr\u00fche Rundung auf ganze Fachnoten zu einer anderen\n rechnerischen Schulart als die Rechnung mit ungerundeten Fachmittelwerten? Au\u00dferdem w\u00e4re interessant, was sich\n \u00e4ndert, wenn die Mittelwerte der einzelnen F\u00e4cher (wie dort vorgeschlagen) zun\u00e4chst nur auf eine Nachkommastelle gerundet werden.\n<\/p>\n\n\n\n

\n Nach\n \u00a7 6 der Bayerischen Grundschulordnung<\/a>\n wird die Durchschnittsnote aus den Noten in Deutsch, Mathematik sowie Heimat- und Sachunterricht gebildet. Die\n Ausf\u00fchrungsbekanntmachung<\/a>\n formuliert die Grenzen als bis einschlie\u00dflich \\(2{,}33\\) f\u00fcr das Gymnasium und bis einschlie\u00dflich \\(2{,}66\\) f\u00fcr die\n Realschule. Im folgenden Rechenmodell wird jeder Gesamtdurchschnitt auf zwei Dezimalstellen abgeschnitten und nicht\n erneut gerundet. Damit gilt beispielsweise\n<\/p>\n\n\n\n

\\[
\\frac{2{,}33+2{,}34+2{,}34}{3}=2{,}3366\\ldots \\longrightarrow 2{,}33.
\\]<\/p>\n\n\n\n

\n F\u00fcr die Einstufung ist das entscheidend: \\(2{,}3366\\ldots\\) wird nicht zu \\(2{,}34\\), sondern zu \\(2{,}33\\) und\n reicht damit noch f\u00fcr das Gymnasium.\n<\/p>\n\n\n\n

\n Der Ausgangsbeitrag veranschaulicht die fr\u00fche Rundung mit den angenommenen Fachmittelwerten \\(1{,}6\\), \\(2{,}6\\)\n und \\(2{,}6\\). Daraus werden zun\u00e4chst die ganzen Zeugnisnoten \\(2\\), \\(3\\) und \\(3\\). Deren Mittelwert ist\n<\/p>\n\n\n\n

\\[
\\frac{2+3+3}{3}=2{,}6666\\ldots \\longrightarrow 2{,}66,
\\]<\/p>\n\n\n\n

womit die direkte Gymnasialeignung verfehlt wird. Ohne die Rundung auf ganze Fachnoten erg\u00e4be sich in dem fiktiven Beispiel hingegen<\/p>\n\n\n\n

\\[
\\frac{1{,}6+2{,}6+2{,}6}{3}=2{,}2666\\ldots \\longrightarrow 2{,}26.
\\]<\/p>\n\n\n\n

\n Im zweiten Beispiel wirkt die Rundung in die andere Richtung: Aus \\(2{,}4\\), \\(3{,}4\\) und \\(2{,}4\\) entstehen die\n ganzen Notenwerte \\(2\\), \\(3\\) und \\(2\\), also offiziell \\(2{,}33\\). Die ungerundeten Werte ergeben hingegen \\(2{,}73\\).\n Die Beispiele zeigen den Effekt deutlich. Wie h\u00e4ufig er auftritt und welche Auswirkungen eine andere Rundung h\u00e4tte,\n l\u00e4sst sich daraus aber noch nicht ableiten.\n<\/p>\n\n\n\n

\n F\u00fcr meine Berechnung verwende ich deshalb einen klaren Ergebnisraum. Jeder Fachmittelwert kann darin einen der\n \\(501\\) Werte\n<\/p>\n\n\n\n

\\[
1{,}00,\\, 1{,}01,\\, 1{,}02,\\, \\ldots, \\, 5{,}99, \\, 6{,}00
\\]<\/p>\n\n\n\n

\n annehmen. Ich gewichte alle geordneten Kombinationen aus Deutsch, Mathematik und Heimat- und Sachunterricht gleich.\n Es gibt somit\n<\/p>\n\n\n\n

\\[
501^3=125\\,751\\,501
\\]<\/p>\n\n\n\n

\n F\u00e4lle. Das Modell ist damit eindeutig, aber k\u00fcnstlich: Es setzt gleichverteilte Fachmittelwerte, die Unabh\u00e4ngigkeit\n der drei F\u00e4cher und Schritte von genau einem Hundertstel voraus. Die tats\u00e4chliche Verteilung bayerischer\n Grundschulkinder bildet es nicht ab.\n<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr drei Fachmittelwerte \\(d,m,h\\) schreiben wir<\/p>\n\n\n\n

\\[
A(d,m,h)=\\frac{\\left\\lfloor 100\\cdot\\frac{d+m+h}{3}\\right\\rfloor}{100}
\\]<\/p>\n\n\n\n

f\u00fcr den auf zwei Dezimalstellen abgeschnittenen Gesamtdurchschnitt. Nun vergleichen wir drei Rechenwege:<\/p>\n\n\n\n

\n \\[
\\begin{aligned}
A_0 &=\n A(\\operatorname{round}(d),\\operatorname{round}(m),\\operatorname{round}(h)),\\\\
A_1 &=\n A(\\operatorname{round}_1(d),\\operatorname{round}_1(m),\\operatorname{round}_1(h)),\\\\
A_\\mathrm{ref} &=\n A(d,m,h).
\\end{aligned}
\\]\n<\/p>\n\n\n\n

\\(A_0\\) entspricht der Rechnung mit ganzen Zeugnisnoten, \\(A_1\\) dem Vorschlag mit einer Nachkommastelle und \\(A_\\mathrm{ref}\\) der ungerundeten Referenz innerhalb des Modells. Die Berechnung l\u00e4sst sich in beispielsweise in Rust<\/a> direkt umsetzen:<\/p>\n\n\n\n

const SCHOOL_GYMNASIUM: i32 = 0;\nconst SCHOOL_REALSCHULE: i32 = 1;\nconst SCHOOL_MITTELSCHULE: i32 = 2;\nconst FLOAT_TOLERANCE: f64 = 1e-9;\n\n#[derive(Clone, Copy, Default)]\nstruct Statistic {\n    conflict_count: u64,\n    total_count: u64,\n}\n\nfn determine_school(average: f64) -> i32 {\n    if average <= 2.33 {\n        return SCHOOL_GYMNASIUM;\n    }\n    if average <= 2.66 {\n        return SCHOOL_REALSCHULE;\n    }\n    SCHOOL_MITTELSCHULE\n}\n\nfn calculate_average(note_deutsch: f64, note_mathe: f64, note_hsu: f64) -> f64 {\n    let average = (note_deutsch + note_mathe + note_hsu) \/ 3.0;\n    ((average + FLOAT_TOLERANCE) * 100.0).floor() \/ 100.0\n}\n\nfn round_to_whole_grade(grade: f64) -> f64 {\n    grade.round()\n}\n\nfn round_to_one_decimal(grade: f64) -> f64 {\n    (grade * 10.0).round() \/ 10.0\n}\n\nfn normalize_grade(grade: f64) -> f64 {\n    (grade * 100.0).round() \/ 100.0\n}\n\nfn percentage(count: u64, total: u64) -> f64 {\n    count as f64 \/ total as f64 * 100.0\n}\n\nfn main() {\n    let mut combination_count = 0;\n    let mut official_reference_conflicts = 0;\n    let mut official_proposal_conflicts = 0;\n    let mut proposal_reference_conflicts = 0;\n    let mut statistics = [Statistic::default(); 4];\n\n    let mut note_deutsch = 1.0;\n    while note_deutsch <= 6.0 {\n        let mut note_mathe = 1.0;\n        while note_mathe <= 6.0 {\n            let mut note_hsu = 1.0;\n            while note_hsu <= 6.0 {\n                combination_count += 1;\n\n                let official_average = calculate_average(\n                    round_to_whole_grade(note_deutsch),\n                    round_to_whole_grade(note_mathe),\n                    round_to_whole_grade(note_hsu),\n                );\n                let proposed_average = calculate_average(\n                    round_to_one_decimal(note_deutsch),\n                    round_to_one_decimal(note_mathe),\n                    round_to_one_decimal(note_hsu),\n                );\n                let reference_average =\n                    calculate_average(note_deutsch, note_mathe, note_hsu);\n                let official_school = determine_school(official_average);\n                let proposed_school = determine_school(proposed_average);\n                let reference_school = determine_school(reference_average);\n\n                if official_average == 3.0 {\n                    statistics[0].total_count += 1;\n                    if reference_school != SCHOOL_MITTELSCHULE {\n                        statistics[0].conflict_count += 1;\n                    }\n                }\n                if official_average == 2.66 {\n                    statistics[1].total_count += 1;\n                    if reference_school == SCHOOL_GYMNASIUM {\n                        statistics[1].conflict_count += 1;\n                    }\n                }\n                if official_average == 2.33 {\n                    statistics[2].total_count += 1;\n                    if reference_school != SCHOOL_GYMNASIUM {\n                        statistics[2].conflict_count += 1;\n                    }\n                }\n                if official_average == 2.66 {\n                    statistics[3].total_count += 1;\n                    if reference_school == SCHOOL_MITTELSCHULE {\n                        statistics[3].conflict_count += 1;\n                    }\n                }\n\n                if official_school != reference_school {\n                    official_reference_conflicts += 1;\n                }\n                if official_school != proposed_school {\n                    official_proposal_conflicts += 1;\n                }\n                if proposed_school != reference_school {\n                    proposal_reference_conflicts += 1;\n                }\n\n                note_hsu = normalize_grade(note_hsu + 0.01);\n            }\n            note_mathe = normalize_grade(note_mathe + 0.01);\n        }\n        note_deutsch = normalize_grade(note_deutsch + 0.01);\n    }\n\n    println!(\n        \"official\/reference: {}%\",\n        percentage(official_reference_conflicts, combination_count)\n    );\n    println!(\n        \"official\/proposal: {}%\",\n        percentage(official_proposal_conflicts, combination_count)\n    );\n    println!(\n        \"proposal\/reference: {}%\",\n        percentage(proposal_reference_conflicts, combination_count)\n    );\n    for (index, statistic) in statistics.iter().enumerate() {\n        println!(\n            \"#{}: {}% ({}\/{})\",\n            index + 1,\n            percentage(statistic.conflict_count, statistic.total_count),\n            statistic.conflict_count,\n            statistic.total_count\n        );\n    }\n}<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Die kleine Toleranz in calculate_average<\/code> verhindert, dass ein Wert wie \\(2{,}67\\) wegen seiner bin\u00e4ren Float-Darstellung versehentlich als \\(2{,}669999\\ldots\\) abgeschnitten wird. normalize_grade<\/code> f\u00fchrt zudem jeden Schleifenwert wieder auf das Raster eines Hundertstels zur\u00fcck. Zwei verschiedene m\u00f6gliche Mittelwerte liegen mindestens \\(1\/300\\) auseinander; die Toleranz von \\(10^{-9}\\) ist also klein genug, um keinen echten Grenzfall zu ver\u00e4ndern.<\/p>\n\n\n\n
Kompiliert und gestartet wird das Programm mit<\/p>\n\n\n\n
rustc -O calc.rs && .\/calc<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Das Programm durchl\u00e4uft alle \\(125\\,751\\,501\\) Kombinationen und liefert:<\/p>\n\n\n\n
Vergleich<\/strong><\/td>Anteil<\/strong><\/td><\/tr>
Ganze Fachnoten gegen\u00fcber ungerundeten Fachmittelwerten<\/td>\\(10{,}4411\\,\\%\\)<\/td><\/tr>
Ganze Fachnoten gegen\u00fcber dem Vorschlag mit einer Nachkommastelle<\/td>\\(10{,}1521\\,\\%\\)<\/td><\/tr>
Vorschlag mit einer Nachkommastelle gegen\u00fcber ungerundeten Fachmittelwerten<\/td>\\(0{,}6615\\,\\%\\)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n    Der f\u00fcr mich zentrale Wert ist \\(10{,}4411\\,\\%\\): In mehr als jeder zehnten Kombination f\u00fchrt die fr\u00fche Rundung auf\n    ganze Fachnoten zu einer anderen rechnerischen Schulart als die ungerundete Referenz. Dieser Anteil beschreibt\n    ausschlie\u00dflich den Rundungseffekt innerhalb des gew\u00e4hlten Modells.\n<\/p>\n\n\n\n
\n    Eine Umstellung auf Fachmittelwerte mit einer Nachkommastelle w\u00fcrde in \\(10{,}1521\\,\\%\\) aller Modellf\u00e4lle zu einer\n    anderen Einstufung als das bisherige Verfahren f\u00fchren. Entscheidend ist aber der dritte Vergleich: Gegen\u00fcber der\n    ungerundeten Referenz bleiben beim Verfahren mit einer Nachkommastelle nur \\(0{,}6615\\,\\%\\) abweichende F\u00e4lle \u00fcbrig.\n    Die Abweichung von der Referenz sinkt damit um\n<\/p>\n\n\n\n
\\[
1-\\frac{0{,}6615}{10{,}4411}\\approx 93{,}7\\,\\%.
\\]<\/p>\n\n\n\n
\n    Genau darin liegt f\u00fcr mich die fragw\u00fcrdige Auswirkung des bisherigen Rechenwegs: An den angenommenen Fachleistungen\n    \u00e4ndert sich nichts, allein der Zeitpunkt der Rundung kann die rechnerische Schulart ver\u00e4ndern. Die Rechnung mit\n    einer Nachkommastelle beseitigt diesen Effekt zwar nicht vollst\u00e4ndig, reduziert ihn im Modell aber sehr deutlich.\n<\/p>\n\n\n\n
\n    Diese Zahlen sind dennoch keine Aussage dar\u00fcber, wie viele Kinder tats\u00e4chlich betroffen sind. Zeugnisnoten entstehen\n    nicht zwingend als mechanisch gerundete Mittelwerte, die Fachleistungen sind weder gleichverteilt noch unabh\u00e4ngig,\n    und die tats\u00e4chliche Wahl der Schulart h\u00e4ngt nicht nur von diesen drei Zahlen ab. Meine Berechnung beantwortet eine\n    engere Frage: Wie oft \u00e4ndert die Rundung die rechnerische Einstufung, wenn alle Hundertstelkombinationen gleich\n    wahrscheinlich sind?\n<\/p>\n\n\n\n
\n    Zum Schluss der Vergleich mit dem Ausgangsbeitrag: Die dort genannte Gesamtquote von etwa \\(10\\,\\%\\) liegt nahe an\n    meinen \\(10{,}4411\\,\\%\\). Die vier mit jeweils \\(1\/6 \\approx 17\\,\\%\\) angegebenen Einzelf\u00e4lle kann meine Berechnung\n    dagegen nicht best\u00e4tigen. F\u00fcr \u201emit \\(3{,}00\\) die Realschule verfehlt\u201c, \u201emit \\(2{,}66\\) das Gymnasium verfehlt\u201c,\n    \u201emit \\(2{,}33\\) das Gymnasium erreicht\u201c und \u201emit \\(2{,}66\\) die Realschule erreicht\u201c erhalte ich der Reihe nach\n    \\(1{,}4615\\,\\%\\), \\(1{,}2023\\,\\%\\), \\(62{,}9395\\,\\%\\) und \\(59{,}6096\\,\\%\\).\n<\/p>\n\n\n\n
\n    Die vier Angaben sind bedingte Wahrscheinlichkeiten mit unterschiedlich gro\u00dfen Bezugsgruppen. Ohne einen abweichend\n    definierten Ergebnisraum l\u00e4sst sich \\(1\/6\\) daraus nicht herleiten. Meine Berechnung best\u00e4tigt somit den\n    Rundungseffekt, nicht aber diese Einzelwahrscheinlichkeiten. F\u00fcr Aussagen \u00fcber tats\u00e4chlich betroffene Kinder w\u00e4ren\n    ohnehin reale Notenverteilungen und deren Abh\u00e4ngigkeiten n\u00f6tig.\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Eine Gesamtdurchschnittsnote von \\(2{,}33\\) bescheinigt in Bayern die Eignung f\u00fcr das Gymnasium, \\(2{,}34\\) nicht mehr. Bei dieser scharfen Grenze kann die Reihenfolge zweier Rundungen entscheiden, auf welcher Seite ein Kind landet. In einem Blogbeitrag von G\u00fcnther Felbinger werden die m\u00f6glichen Folgen dieses Rundungseffekts diskutiert. 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