Als Kurt G\u00f6del 1931 seine ber\u00fchmten Unvollst\u00e4ndigkeitss\u00e4tze ver\u00f6ffentlichte, f\u00fchrte das zu einer Ersch\u00fctterung der Grundlagen der mathematischen Logik: Er widerlegte, dass alle Axiome, die man als m\u00f6gliche Grundlage aufstellen kann, unweigerlich unvollst\u00e4ndig sind, um alle Aussagen \u00fcber Zahlen zu beweisen \u2013 und zerst\u00f6rte den Traum von Hilbert, die Widerspruchsfreiheit der mathematischen Theorie zu beweisen.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Die Einf\u00fchrung der G\u00f6delnummern (die eindeutige Abbildung von Formeln auf nat\u00fcrlichen Zahlen) sowie die Diagonalisierung (die Ersetzung der freien Variable in Funktionen mit ihrer jeweiligen G\u00f6delnummer) sind dabei zwei zentrale Konzepte, die G\u00f6del in seinem Beweis einf\u00fchrt. Die entscheidende Beweisidee, in denen G\u00f6del diese Konzepte kombiniert, l\u00e4sst sich dabei wie folgt niederschreiben: <\/p>\n\n\n\n
$$P(p) \\, \\text{wahr} \\Leftrightarrow p \\in \\, \\overline{B}^* \\Leftrightarrow d(p) \\in \\overline{B} \\Leftrightarrow d(p) \\notin B \\Leftrightarrow g(P(p)) \\notin B \\Leftrightarrow P(p) \\, \\text{unbeweisbar}$$<\/p>\n\n\n\n
Da nun \\(P(p)\\) nicht falsch sein kann (da es sonst beweisbar und damit wahr w\u00e4re), muss \\(P(p)\\) wahr sein und damit nicht beweisbar. Damit gibt es in einer Sprache (bei beliebiger Wahl von Axiomen) stets einen wahren Satz, der nicht beweisbar ist. Dabei ist \\(g\\) die G\u00f6delisierung, \\(p\\) die G\u00f6delnummer des Pr\u00e4dikats \\(P\\), die das komplement\u00e4re Urbild \\(\\overline{B}^*\\) von \\(B\\) (der Menge aller G\u00f6delnummern aller beweisbaren S\u00e4tze) unter der Diagonalfunktion \\(d\\) charakterisiert.<\/p>\n\n\n\n
Zur weiteren Lekt\u00fcre empfiehlt sich G\u00f6dels Ver\u00f6ffentlichung von 1931<\/a> sowie der lesenswerte Artikel von Stepan Parunashvili<\/a>. Neben der Unvollst\u00e4ndigkeitss\u00e4tze hat G\u00f6del noch weitere bahnbrechende Errungenschaften geleistet, darunter die Unwiderlegbarkeit der Kontinuumshypothese<\/a> von Cantor sowie der ontologische Gottesbeweis<\/a> in der Sprache der Modallogik.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Als Kurt G\u00f6del 1931 seine ber\u00fchmten Unvollst\u00e4ndigkeitss\u00e4tze ver\u00f6ffentlichte, f\u00fchrte das zu einer Ersch\u00fctterung der Grundlagen der mathematischen Logik: Er widerlegte, dass alle Axiome, die man als m\u00f6gliche Grundlage aufstellen kann, unweigerlich unvollst\u00e4ndig sind, um alle Aussagen \u00fcber Zahlen zu beweisen \u2013 und zerst\u00f6rte den Traum von Hilbert, die Widerspruchsfreiheit der mathematischen Theorie zu beweisen.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"gtbabel_prevent_lngs":"","gtbabel_alt_lng":"","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-2817","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-blog"},"acf":[],"yoast_head":"