{"id":2265,"date":"2019-05-03T03:00:58","date_gmt":"2019-05-03T01:00:58","guid":{"rendered":"https:\/\/vielhuber.de\/?p=2265"},"modified":"2019-05-03T03:55:47","modified_gmt":"2019-05-03T01:55:47","slug":"eine-zahlenspirale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/","title":{"rendered":"Eine Zahlenspirale"},"content":{"rendered":"\n<p>In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"StackExchange  (\u00f6ffnet in neuem Tab)\" href=\"https:\/\/math.stackexchange.com\/questions\/163080\/on-a-two-dimensional-grid-is-there-a-formula-i-can-use-to-spiral-coordinates-in\" target=\"_blank\">StackExchange<\/a> \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine geschlossene Formel f\u00fcr die Koordinaten des \\(n\\)-ten Elements in der folgenden Ganzzahl-Spirale, die sich vom Ursprung nach au\u00dfen hin immer weiter ins Unendliche ausdehnt:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>..  9 10 11 12\n23  8  1  2 13\n22  7  0  3 14\n21  6  5  4 15\n20 19 18 17 16<\/code><\/pre>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Zun\u00e4chst teilen wir die nat\u00fcrlichen Zahlen in folgende Gruppen ein:<\/p>\n\n\n\n<p>$$G_1 = \\{ 1,...,8 \\}\\\\G_2 = \\{ 9, ..., 24 \\}\\\\G_3 = \\{ 25, ... 48 \\}\\\\...\\\\G_k = \\left\\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \\right\\}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Wir nennen<\/p>\n\n\n\n<p>$$a^2 = \\left(\\left \\lfloor \\left( \\frac{\\left \\lfloor \\sqrt{n} \\right \\rfloor + 1}{2} \\right) \\right \\rfloor \\cdot 2 - 1 \\right)^2$$<\/p>\n\n\n\n<p>die Anfangszahl in einer Gruppe.<\/p>\n\n\n\n<p>Innerhalb einer Gruppe gibt es jeweils vier gleich gro\u00dfe Untergruppen (beispielsweise f\u00fcr \\(G_1\\) ist das \\(g_1 = \\{ 1,2 \\}, g_2 = \\{ 3,4 \\}, g_3 = \\{ 5,6 \\}, g_4 = \\{7,8\\}\\)). Wechselt \\(n\\) von einer Untergruppe zur n\u00e4chsten, wird gleichzeitig auch die Richtung auf dem Weg der Spirale (in unserem Beispiel im Uhrzeigersinn) gewechselt. Wir erhalten die aktuelle Richtung \\( b \\in \\{0,1,2,3\\} \\), indem wir die Position \\(n-a^2\\) innerhalb einer Gruppe durch die Anzahl der Elemente einer Untergruppe teilen:<\/p>\n\n\n\n<p>$$b = \\left \\lfloor \\frac{ n - a^2 }{ \\text{abs}\\left( a \\right) + 1 } \\right \\rfloor$$<\/p>\n\n\n\n<p>Nun k\u00f6nnen wir das erste Element innerhalb einer Untergruppe \\(g_n\\) bestimmen, indem wir zur Anfangszahl \\(a^2\\) ein Vielfaches \\(b\\) von der Anzahl \\(a+1\\) der Elemente innerhalb einer Gruppe hinzuaddieren:<\/p>\n\n\n\n<p>$$c = a^2 + b \\cdot (a+1)$$<\/p>\n\n\n\n<p>Nun k\u00f6nnen wir durch einfache Beobachtung ermitteln:<\/p>\n\n\n\n<p>$$x_{right} = \\left(n - c - \\frac{ a + 1 }{2}+1\\right),\\, y_{right} = \\left(\\frac{ a + 1 }{2}\\right) \\\\ x_{bottom} = \\left(\\frac{ a + 1 }{2}\\right),\\, y_{bottom} = (-1) \\cdot \\left( n - c - \\frac{ a + 1 }{2}+1\\right) \\\\ x_{left} = (-1) \\cdot \\left(n - c - \\frac{ a + 1 }{2}+1\\right),\\, y_{left} = (-1) \\cdot \\left(\\frac{ a + 1 }{2}\\right) \\\\ x_{top} = (-1) \\cdot \\left(\\frac{ a + 1 }{2}\\right),\\, y_{top} = \\left( n - c - \\frac{ a + 1 }{2}+1\\right)$$<\/p>\n\n\n\n<p>Wie wollen \\(f(n)\\) nun in geschlossener Darstellung und auch ohne Fallunterscheidungen darstellen. Die verwenden wir Signumsfunktion, das Verfahren habe ich <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"hier (\u00f6ffnet in neuem Tab)\" href=\"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/ueber-die-notation-von-verzweigte-funktionen\/\" target=\"_blank\">hier<\/a> beschrieben. Damit wir eine reine Formel in Abh\u00e4ngigkeit von \\(n\\) bekommen, erhalten wir:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"823\" height=\"1196\" src=\"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2266\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Dass das Ganze auch wirklich funktioniert, sehen wir mit Hilfe von <a href=\"https:\/\/svgjs.com\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"SVG.js (\u00f6ffnet in neuem Tab)\">SVG.js<\/a> in dieser kleinen Visualisierung:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"codepen\" data-height=\"700\" data-theme-id=\"dark\" data-default-tab=\"result\" data-user=\"vielhuber\" data-slug-hash=\"gyVzQj\" style=\"height: 700px; box-sizing: border-box; display: flex; align-items: center; justify-content: center; border: 2px solid; margin: 1em 0; padding: 1em;\" data-pen-title=\"ulam spiral\">\n  <span>See the Pen <a href=\"https:\/\/codepen.io\/vielhuber\/pen\/gyVzQj\/\">\n  ulam spiral<\/a> by David Vielhuber (<a href=\"https:\/\/codepen.io\/vielhuber\">@vielhuber<\/a>)\n  on <a href=\"https:\/\/codepen.io\">CodePen<\/a>.<\/span>\n<\/p>\n\n\n\n<p>Die Spirale ist auch bekannt als <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Ulam_spiral\">Ulam's Spiral<\/a> und hat einen spannenden Bezug zu Primzahlen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine geschlossene Formel f\u00fcr die Koordinaten des \\(n\\)-ten Elements in der folgenden Ganzzahl-Spirale, die sich vom Ursprung nach au\u00dfen hin immer weiter ins Unendliche ausdehnt:<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"gtbabel_prevent_lngs":"","gtbabel_alt_lng":"","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-2265","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-blog"},"acf":[],"yoast_head":"<title>Eine Zahlenspirale &#060; Vielhuber David<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Eine Zahlenspirale &#060; Vielhuber David\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Vielhuber David\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2019-05-03T01:00:58+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2019-05-03T01:55:47+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"David\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@vielhuber\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@vielhuber\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"David\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"2\u00a0Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"David\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef\"},\"headline\":\"Eine Zahlenspirale\",\"datePublished\":\"2019-05-03T01:00:58+00:00\",\"dateModified\":\"2019-05-03T01:55:47+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/\"},\"wordCount\":378,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/ulamspiralformula.png\",\"articleSection\":[\"Blog\"],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/\",\"name\":\"Eine Zahlenspirale &#060; Vielhuber David\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/ulamspiralformula.png\",\"datePublished\":\"2019-05-03T01:00:58+00:00\",\"dateModified\":\"2019-05-03T01:55:47+00:00\",\"description\":\"In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/ulamspiralformula.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/ulamspiralformula.png\",\"width\":823,\"height\":1196},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/blog\\\/eine-zahlenspirale\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Eine Zahlenspirale\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/\",\"name\":\"Vielhuber David\",\"description\":\"Full-Stack Developer\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef\",\"name\":\"David\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/about.jpg\",\"url\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/about.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/about.jpg\",\"width\":700,\"height\":552,\"caption\":\"David\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/vielhuber.de\\\/wp-content\\\/uploads\\\/about.jpg\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/x.com\\\/vielhuber\"]}]}<\/script>","yoast_head_json":{"title":"Eine Zahlenspirale &#060; Vielhuber David","description":"In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/","og_locale":"de_DE","og_type":"article","og_title":"Eine Zahlenspirale &#060; Vielhuber David","og_description":"In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine","og_url":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/","og_site_name":"Vielhuber David","article_published_time":"2019-05-03T01:00:58+00:00","article_modified_time":"2019-05-03T01:55:47+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png","type":"","width":"","height":""}],"author":"David","twitter_card":"summary_large_image","twitter_creator":"@vielhuber","twitter_site":"@vielhuber","twitter_misc":{"Verfasst von":"David","Gesch\u00e4tzte Lesezeit":"2\u00a0Minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/"},"author":{"name":"David","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/#\/schema\/person\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef"},"headline":"Eine Zahlenspirale","datePublished":"2019-05-03T01:00:58+00:00","dateModified":"2019-05-03T01:55:47+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/"},"wordCount":378,"publisher":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/#\/schema\/person\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef"},"image":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png","articleSection":["Blog"],"inLanguage":"de"},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/","url":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/","name":"Eine Zahlenspirale &#060; Vielhuber David","isPartOf":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png","datePublished":"2019-05-03T01:00:58+00:00","dateModified":"2019-05-03T01:55:47+00:00","description":"In den letzten Tagen habe ich mich mit der folgenden Frage auf StackExchange \u00fcber eine Spirale aus Ganzzahlen besch\u00e4ftigt. Dabei suchen wir eine","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#breadcrumb"},"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#primaryimage","url":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png","contentUrl":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/ulamspiralformula.png","width":823,"height":1196},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/blog\/eine-zahlenspirale\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/vielhuber.de\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Eine Zahlenspirale"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/#website","url":"https:\/\/vielhuber.de\/","name":"Vielhuber David","description":"Full-Stack Developer","publisher":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/#\/schema\/person\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/vielhuber.de\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"de"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/#\/schema\/person\/64d4ff14713d413ea4d9b210d0c2c6ef","name":"David","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/about.jpg","url":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/about.jpg","contentUrl":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/about.jpg","width":700,"height":552,"caption":"David"},"logo":{"@id":"https:\/\/vielhuber.de\/wp-content\/uploads\/about.jpg"},"sameAs":["https:\/\/x.com\/vielhuber"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2265","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2265"}],"version-history":[{"count":41,"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2265\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2309,"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2265\/revisions\/2309"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2265"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2265"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/vielhuber.de\/el\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2265"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}