Ob in der Schule oder im Studium: Eine interessante Fragestellung, die einem immer mal wieder über den Weg läuft, beinhaltet die Frage, ob folgende Gleichung wahr ist: \( 0,99999... = 1 \). Obwohl im linken Teil der Gleichung die Unendlichkeit schlummert, geben wir ihm einen Namen: \(0,99999... = A\). Nach Multiplikation mit dem Faktor \(10\) und einfachen algebraischen Umformungen erhalten wir eine erste erstaunliche Erkenntnis.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Das war gar nicht so schwer. Doch was passiert, wenn man folgende auf den ersten Blick etwas seltsame anmutende Zahl $$ ...99999 $$ betrachtet, in der sich die Unendlichkeit nicht nach rechts, sondern nach links erstreckt?
Wir vollziehen dieselben Umformungen wie oben und erhalten:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Schlussendlich betrachten wir noch die Zahl \( ...99999,99999... \)
und erhalten das auf den ersten Blick erstaunliche Ergebnis
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Doch auch dies ist durchaus konsistent, da zum einen \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) und zum anderen $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ gilt.
Hinweis: Es wird gezeigt, dass wenn man \(A, B\) und \(C\) definiert und ihnen einen vernünftigen Wert zuordnet, dass dann die Werte \(1, -1\) und \(0\) lauten.